[论文解读] Uniqueness in geometric quantization

László Lempert, Róbert Szőke|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2010

Geometry and complex manifolds被引用 8

一句话总结

本文通过分析作为带有联络的希尔伯特丛纤维的希尔伯特空间族 $H_s$，研究了几何量子化的唯一性。它证明了在单连通基上，平坦解析场对应于路径无关的平行移动；并证明对于齐次解析黎曼流形，从凯勒结构出发的直接像构造会产生平坦、解析的希尔伯特场——这意味着在这些情况下存在唯一量子化。

ABSTRACT

Geometric quantization often produces not one Hilbert space to represent the quantum states of a classical system but a whole family $H_s$ of Hilbert spaces, and the question arises if the spaces $H_s$ are canonically isomorphic. [ADW] and [Hi] suggest to view $H_s$ as fibers of a Hilbert bundle $H$, introduce a connection on $H$, and use parallel transport to identify different fibers. Here we explore to what extent this can be done. First we introduce the notion of smooth and analytic fields of Hilbert spaces, and prove that if an analytic field over a simply connected base is flat, then it corresponds to a Hermitian Hilbert bundle with a flat connection and path independent parallel transport. Second we address a general direct image problem in complex geometry: pushing forward a Hermitian holomorphic vector bundle $E-->Y$ along a non-proper map $Y-->S$. We give criteria for the direct image to be a smooth field of Hilbert spaces. Third we consider quantizing an analytic Riemannian manifold $M$ by endowing $TM$ with the family of adapted K\ahler structures from arxiv:1004.4069 [LSz]. This leads to a direct image problem. When $M$ is homogeneous, we prove the direct image is an analytic field of Hilbert spaces. For certain such $M$---but not all---the direct image is even flat; which means that in those cases quantization is unique.

研究动机与目标

• 确定几何量子化在产生一族希尔伯特空间 $H_s$ 的情况下，何时能产生唯一的希尔伯特空间。
• 研究在几何量子化族中，不同希尔伯特空间 $H_s$ 是否可通过希尔伯特丛中的平行移动实现典范同构。
• 建立在非正则映射下，从全纯线丛 $E \to Y$ 沿 $Y \to S$ 的直接像产生光滑或解析希尔伯特空间族的条件。
• 通过适配的凯勒结构分析解析黎曼流形的量子化，并确定何时所得直接像为平坦，从而暗示唯一性。

提出的方法

• 引入基流形 $S$ 上光滑与解析希尔伯特空间族的概念。
• 证明在单连通基 $S$ 上的平坦解析场对应于具有平坦联络和路径无关平行移动的酉希尔伯特丛。
• 解决复几何中的一般直接像问题：沿非正则映射 $Y \to S$ 将全纯线丛 $E \to Y$ 的上推。
• 提供直接像为光滑希尔伯特空间族的充分条件，特别是在切丛 $TM$ 上凯勒结构的背景下。
• 从 arXiv:1004.4069 [LSz] 构造 $TM$ 上适配凯勒结构族，以实现解析黎曼流形的量子化。
• 分析所得直接像丛并证明在齐次流形情况下其平坦性，从而意味着 $S$ 上希尔伯特空间的典范同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，几何量子化中希尔伯特空间族 $H_s$ 在不同 $s$ 之间存在典范同构？
• RQ2 在单连通基上，平坦解析希尔伯特空间族是否可通过平行移动实现典范识别？
• RQ3 在非正则映射下，全纯线丛的直接像在何种条件下产生光滑或解析希尔伯特空间族？
• RQ4 对于哪些解析黎曼流形，通过 $TM$ 上适配凯勒结构的量子化是唯一的？
• RQ5 在凯勒量子化构造中，直接像丛在何种情况下平坦，从而暗示量子希尔伯特空间的唯一性？

主要发现

• 在单连通基上，平坦解析希尔伯特空间族对应于具有平坦联络和路径无关平行移动的酉希尔伯特丛。
• 在适当的几何条件下，沿非正则映射的全纯线丛的直接像可成为光滑希尔伯特空间族。
• 对于齐次解析黎曼流形，从 $TM$ 上适配凯勒结构出发的直接像构造产生解析希尔伯特空间族。
• 在某些齐次情形下，直接像丛是平坦的，这表明由此产生的量子希尔伯特空间在基上典范同构。
• 当直接像为平坦时，量子化是唯一的，因为平行移动提供了希尔伯特空间 $H_s$ 之间的典范识别。
• 该构造证实，当底层几何支持直接像丛的平坦性时，几何量子化可产生唯一的量子表示。