[论文解读] Uniqueness of solutions to Hamilton-Jacobi equations arising in the Calculus of Variations

Gianni Dal Maso, Hélène Frankowska|ArXiv.org|Jun 2, 2000

Optimization and Variational Analysis参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文在最小假设条件下建立了变分法中出现的哈密顿-雅可比方程粘性解的唯一性：拉格朗日函数在速度变量上连续、凸，并满足超线性强制条件。关键贡献在于证明了值函数是唯一满足弱可控导数条件和初始条件的连续粘性解，将唯一性结果从经典或局部利普希茨解扩展到更广泛的下半连续函数类。

ABSTRACT

We prove the uniqueness of the viscosity solution to the Hamilton-Jacobi equation associated with a Bolza problem of the Calculus of Variations, assuming that the Lagrangian is autonomous, continuous, superlinear, and satisfies the usual convexity hypothesis. Under the same assumptions we prove also the uniqueness, in a class of lower semicontinuous functions, of a slightly different notion of solution, where classical derivatives are replaced only by subdifferentials. These results follow from a new comparison theorem for lower semicontinuous viscosity supersolutions of the Hamilton-Jacobi equation, that is proved in the general case of lower semicontinuous Lagrangians.

研究动机与目标

• 建立由变分法中博尔扎问题导出的哈密顿-雅可比方程粘性解的唯一性。
• 将唯一性结果从局部利普希茨解或有界解扩展到更广泛的连续函数类，其满足弱可控导数约束。
• 在满足特定可控导数条件和初始条件的下半连续函数类中证明唯一性。
• 将现有的粘性上解比较定理推广至下半连续拉格朗日函数的情形。
• 提出一个新的比较原理，使得在解的正则性假设最小化的条件下仍能保证唯一性。

提出的方法

• 提出一个针对下半连续粘性上解的哈密顿-雅可比方程的新比较定理。
• 使用可控方向导数刻画解的弱正则性条件，替代经典导数。
• 应用可及性理论和克拉克切锥分析解函数的下图。
• 利用分离定理及可控锥闭凸包的性质，推导涉及哈密顿函数的不等式。
• 构造一列逼近轨迹，并利用拉格朗日函数的连续性，将积分估计中的极限过程取极限。
• 应用定理2.2（关于解下图中轨迹可及性）推导出微分不等式，迫使解支配值函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在解的何种最小条件下，值函数是哈密顿-雅可比方程的唯一粘性解？
• RQ2 是否可在解为连续但未必局部利普希茨、仅满足弱可控导数条件时，建立唯一性？
• RQ3 当解类扩展至满足特定可控导数约束的下半连续函数时，值函数是否仍为唯一解？
• RQ4 如何在哈密顿-雅可比方程背景下，为下半连续粘性上解形式化并证明一个比较原理？
• RQ5 可控导数条件(1.9)和(1.10)在不依赖完整正则性的情况下，如何确保唯一性？

主要发现

• 在满足可控导数条件(1.9)和(1.10)及初始条件(1.7)的函数类中，值函数$ V $是哈密顿-雅可比方程(1.3)的唯一连续粘性解。
• 唯一性结果在拉格朗日函数$ L $连续、在速度变量上凸且满足超线性强制条件的假设下成立。
• 建立了针对下半连续粘性上解的新比较定理，即使拉格朗日函数仅为下半连续也适用。
• 证明表明，若$ W \neq V $，则通过在$ W $的下图上使用可及性论证将导致矛盾，从而推出$ W \neq V $不可能成立。
• 该结果扩展了以往要求解具有局部利普希茨正则性或有界性的唯一性定理。
• 可控导数条件(1.9)和(1.10)被证明足以确保解以广义方式表现如粘性解，从而使比较原理得以应用。