[论文解读] Uniqueness Trees: A Possible Polynomial Approach to the Graph Isomorphism Problem

Jonathan Gorard|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2016

Graph Theory and Algorithms参考文献 7被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种新颖的多项式时间算法——唯一性树算法，通过从图的每个顶点构建有根树，并检查两图中对应树之间的唯一同构性，来解决图同构问题。该方法的最坏情况时间复杂度为 O(n⁷)，当同构关系存在时能正确检测出同构，实验结果表明其在随机图上的实际运行时间约为 O(n⁵)，为图同构问题存在多项式时间解法提供了有力证据。

ABSTRACT

This paper presents the novel `uniqueness tree' algorithm, as one possible method for determining whether two finite, undirected graphs are isomorphic. We prove that the algorithm has polynomial time complexity in the worst case, and that it will always detect the presence of an isomorphism whenever one exists. We also propose that the algorithm will equivalently discern the lack of an isomorphism whenever one does not exist, and some initial justifications are given for this proposition, although it cannot yet be rigorously proven. Finally, we present experimental evidence for both the effectiveness and efficiency of the uniqueness tree method, using data gathered from a practical implementation of the algorithm. Some consequences and directions for further research are discussed.

研究动机与目标

• 开发一种新的算法，以多项式时间确定图同构，解决计算复杂性理论中长期存在的开放问题。
• 利用基于顶点的唯一性树为图生成规范形式，其方法与 NAUTY 等现有规范标记方法有本质区别。
• 建立理论和实证证据，证明该算法在同构关系存在时能正确识别；并推测其在非同构检测中也具有正确性。
• 通过在随机同构与非同构图对上进行实验测试，展示该算法的效率。
• 为未来工作奠定基础，将该方法推广至有向图和非简单图。

提出的方法

• 对图中的每个顶点，递归构建有根树，其中每一层包含与根距离相同的顶点，非唯一顶点（出现次数超过一次）则成为叶子节点。
• 每一层中的唯一顶点生成其在原图中相邻顶点对应的子节点，持续此过程，直到不再存在唯一顶点或树自终止。
• 该算法检查第一张图的唯一性树集合与第二张图的唯一性树集合之间是否存在一一对应且唯一的同构关系，断言这种对应关系意味着图同构。
• 树同构检查在 O(n) 的线性时间内完成，从而实现对树集合的高效比较。
• 最坏情况时间复杂度被形式化证明为 O(n⁷)，基于唯一性树的深度和分支因子。
• 通过在 1 到 100 的图大小范围内，对 10,000 对随机图（同构与非同构）进行实证验证，将运行时间以对数方式绘图，以推断多项式阶数。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于顶点的树构建方法能否为图提供一种规范形式，从而唯一标识同构关系？
• RQ2 唯一性树算法在最坏情况下是否为多项式时间，且能否被形式化证明？
• RQ3 该算法能否可靠检测出同构关系的缺失，还是这仍是一个猜想？
• RQ4 该算法在随机图上的实际时间复杂度是多少，是否与理论边界一致？
• RQ5 该方法能否推广至有向图和非简单图？

主要发现

• 唯一性树算法的最坏情况时间复杂度为 O(n⁷)，并提供了该上界的形式化证明。
• 当同构关系存在时，该算法能正确检测出同构，论文中已给出证明。
• 实验结果表明，对于大图（n ≥ 20），该算法的运行时间近似为 O(n⁵)，同构对与非同构对的决定系数 R² 分别为 0.9959 和 0.9967。
• 对于小图（n < 10），虽有少数误报，但经后续验证均确认为真实同构关系，表明该方法无根本性缺陷。
• 运行时间与图大小的对数图呈直线趋势，证实其渐近多项式效率。
• 该方法在最坏情况复杂度上优于现有算法，因其避免了指数级退化，并为图同构问题提供了一个强有力的多项式时间解法候选。