[论文解读] Unit Grid Intersection Graphs: Recognition and Properties

Irina Mustaţă, Martin Pergel|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文证明了识别单位网格交集图（UGIG）是 NP-完全的，即使在限制为任意大围长的图时也是如此，通过改编已知的一般网格交集图的 NP-难证明。此外，本文确立了可在 (1+ε)×(1+ε) 网格上表示的 UGIG 恰好是正交射线图，且表明某些树需要任意大的网格，揭示了紧凑表示的根本限制。

ABSTRACT

It has been known since 1991 that the problem of recognizing grid intersection graphs is NP-complete. Here we use a modified argument of the above result to show that even if we restrict to the class of unit grid intersection graphs (UGIGs), the recognition remains hard, as well as for all graph classes contained inbetween. The result holds even when considering only graphs with arbitrarily large girth. Furthermore, we ask the question of representing UGIGs on grids of minimal size. We show that the UGIGs that can be represented in a square of side length 1+epsilon, for a positive epsilon no greater than 1, are exactly the orthogonal ray graphs, and that there exist families of trees that need an arbitrarily large grid.

研究动机与目标

• 确定识别单位网格交集图（UGIG）这一网格交集图的受限子类的计算复杂性。
• 研究表示 UGIG 所需的最小网格尺寸，特别关注 (1+ε)×(1+ε) 网格。
• 阐明 UGIG、正交射线图（ORG）及其他相关图类之间的关系。
• 探索 UGIG 的紧凑几何表示的极限，特别是针对树的情况。
• 确定 UGIG 及相关类的识别问题是否属于 NP，提供多项式大小的证书。

提出的方法

• 将已知的一般网格交集图（GIG）的 NP-难证明改编至单位长度限制，表明 UGIG 识别仍为 NP-难。
• 通过从 3-SAT 的约化构造变量和文字的构件，在平面嵌入中确保通过几何约束实现一致的真值赋值。
• 通过几何可见性和线段放置的论证，证明在 0 < ε ≤ 1 时，可在 (1+ε)×(1+ε) 网格上表示的 UGIG 恰好是正交射线图（ORG）。
• 为出现次数少于四次的变量引入一个虚拟出现构件，将其嵌入面中以保持真值赋值的一致性。
• 提供一个大小为 O(n log n) 的多项式大小证书，编码 x 轴和 y 轴上的线段排序，证明 UGIG 和 USEG 识别属于 NP。
• 利用证明不依赖于几何方向性的事实，表明该难解性可推广至 UGIG 和伪线段图（PSEG）之间的所有图类。

实验结果

研究问题

• RQ1 单位网格交集图（UGIG）的识别问题是否为 NP-完全，即使在限制为任意大围长图时？
• RQ2 表示一个 UGIG 所需的最小网格尺寸是多少？哪些 UGIG 可在 ε > 0 时的 (1+ε)×(1+ε) 网格上表示？
• RQ3 UGIG 与正交射线图（ORG）之间有何关系？在何种条件下 UGIG 与 ORG 等价？
• RQ4 能否构造一个多项式大小的证书以验证 UGIG 表示，从而将识别问题置于 NP？
• RQ5 是否存在某些 UGIG 家族（如某些树），其表示需要任意大的网格？

主要发现

• 识别单位网格交集图（UGIG）是 NP-完全的，即使在限制为任意大围长图时也是如此。
• 在 0 < ε ≤ 1 时，可在 (1+ε)×(1+ε) 网格上表示的 UGIG 类恰好是正交射线图（ORG）类。
• 存在某些树族，其单位网格交集表示需要任意大的网格，表明不存在网格尺寸的通用上界。
• UGIG 及中间类 USEG（单位线段图）的识别问题属于 NP，其证书大小为 O(n log n)，编码了轴上的线段排序。
• 由于证明不依赖于几何方向性，NP-难结果可扩展至 UGIG 和伪线段图（PSEG）之间的所有图类。
• 该构造表明，除非 P = NP，否则无法高效区分 UGIG 与非 PSEG 图。