[论文解读] Universal C*-algebraic quantum groups arising from algebraic quantum groups

Johan Kustermans|ArXiv.org|Apr 22, 1997

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用 14

一句话总结

本文通过具有正左不变泛函的乘子Hopf*-代数，从代数量子群构造出一个通用C*-代数量子群。它证明了该通用对象与其实现版本具有相同的丰富结构特性，满足Masuda-Nakagami-Woronowicz框架的所有公理，除了左Haar权可能不忠实这一例外。

ABSTRACT

In this paper, we construct a universal C*-algebraic quantum group out of an algebraic one. We show that this universal C*-algebraic quantum group has the same rich structure as its reduced companion. This universal C*-algebraic quantum group also satifies an upcoming definition of Masuda, Nakagami & Woronowicz except for the possible non-faithfulness of the left Haar weight.

研究动机与目标

• 通过具有正左不变泛函的乘子Hofp*-代数，从给定的代数量子群构造一个通用C*-代数量子群。
• 证明所得到的通用C*-量子群继承了其对应实现版本的相同结构丰富性。
• 验证通用对象几乎满足Masuda-Nakagami-Woronowicz公理框架，除左Haar权可能不忠实外。
• 在通用与实现C*-量子群的单位表示之间建立自然双射。
• 通过从对偶代数量子群构造对偶通用C*-量子群，将对偶理论推广至通用设定。

提出的方法

• 以具有正左不变泛函（Haar泛函）的乘子Hofp*-代数作为代数起点。
• 通过C*-范畴中的泛性质构造通用C*-代数 $A_u$ 和通用共乘法 $\Delta_u$。
• 应用算子代数技术，包括严格拓扑、截面映射和关联算子，以扩展共乘法和权泛函。
• 利用GNS构造及关联映射 $\iota \otimes \Lambda_\varphi$ 在Hilbert模上定义稠密定义算子。
• 引入集合 $\tilde{\cal N}_{\iota \otimes \varphi}$ 和 $\hat{\cal N}_{\iota \otimes \varphi}$，以将截面映射 $\iota \otimes \varphi$ 扩展至关联算子。
• 利用通用核心表示，在 $A_u$ 的单位表示与对偶通用C*-代数 $\hat{A}_u$ 上的非退化*-同态之间建立双射对应。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过具有正左不变泛函的乘子Hofp*-代数，系统地从代数量子群构造出通用C*-代数量子群？
• RQ2 通用C*-量子群在多大程度上满足Masuda、Nakagami与Woronowicz提出的公理框架？
• RQ3 通用与实现C*-量子群的单位表示之间存在何种关系？
• RQ4 代数量子群的对偶理论能否被提升至通用C*-代数设定？
• RQ5 左Haar权在通用构造中起什么作用，特别是其忠实性方面？

主要发现

• 从具有正左不变泛函的乘子Hofp*-代数构造出通用C*-代数量子群 $ (A_u, \Delta_u) $。
• 通用对象满足Masuda-Nakagami-Woronowicz框架的所有公理，除了左Haar权可能不忠实。
• 在通用C*-量子群 $A_u$ 与实现C*-量子群 $A_r$ 的单位表示之间存在自然双射。
• 该双射同样适用于通用与实现量子群之间的双-*$^*$-同构。
• 通用核心表示在 $A_u$ 的单位表示与对偶通用C*-代数 $\hat{A}_u$ 上的非退化*-同态之间诱导出双射对应。
• 该构造保持了实现C*-量子群的丰富结构特性，包括存在良好行为的对偶与对偶理论。