[论文解读] Universal Logarithmic Scrambling in Many Body Localization

Yu Chen|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Quantum many-body systems参考文献 1被引用 66

一句话总结

本文为多体局域化（MBL）系统中的非时间有序关联函数（OTOC）提供了分析解，揭示了量子信息的普遍对数性混淆。结果表明，当 $\tilde{\tau} > x/\xi$ 时，OTOC 衰减为 $2^{-\tilde{\tau} \tilde{\tau}}$，其中无量纲局域化长度 $\xi$ 作为信息混淆速率，暗示了第二 Rényi 熵的普遍对数增长。

ABSTRACT

Out of time ordered correlator (OTOC) is recently introduced as a powerful diagnose for quantum chaos. To go beyond, here we present an analytical solution of OTOC for a non-chaotic many body localized (MBL) system, showing distinct feature from quantum chaos and Anderson localization (AL). The OTOC is found to fall only if the nearest distance between the two operators being shorter than $ξ\ln t$, where $ξ$ is dimensionless localization length. Thereafter, we found an universal power law decay of OTOC as $2^{-ξ\ln t}$, implying an universal logarithmic growth of second Rényi entropy, where $ξ$ plays the role of information scrambling rate. A relation between butterfly velocity and scrambling rate is found.

研究动机与目标

• 理解在非混沌多体局域化（MBL）系统中，OTOC 在量子混沌之外的行为。
• 研究量子信息在 MBL 系统中的传播方式，特别是 OTOC 是否能捕捉纠缠和混淆动力学。
• 确定是否存在一个普遍标度律控制 MBL 中的信息混淆，且独立于无序分布。
• 将 OTOC 衰减与 Rényi 熵增长联系起来，并确定局域化长度 $\xi$ 作为混淆速率的作用。
• 通过随机相互作用下的复发时间估计，验证 MBL 中不存在量子复发。

提出的方法

• 该研究使用了具有局域守恒算符 $\sigma_i^z$ 的 MBL 系统的固定点有效哈密顿量，引入了呈指数衰减的随机相互作用 $J_{ij} \propto e^{-|i-j|/\xi}$。
• OTOC 定义为 $F(t) = \langle \hat{W}^\dagger(t) \hat{V}^\dagger(0) \hat{W}(t) \hat{V}(0) \rangle_\beta$，其中 $\beta=0$ 表示无限温度，且归一化为 $f(t)$。
• 计算采用双自旋链的量子线路设置，其中 $\hat{W}$ 和 $\hat{V}$ 是分离最小距离 $x$ 的有限尺寸算符。
• OTOC 通过在 $J_{ij}$ 上的微扰展开进行评估，重点关注涉及多次自旋翻转和非对易项的主导阶贡献。
• 分析推导了 $f(t)$ 的时间演化，识别出 OTOC 开始衰减的关键时间 $\tau_B = e^{x/\xi}$，标志着对数光锥的到达。
• 通过 $S_R^{(2)} = \xi \ln \tilde{t}$ 将 Rényi 熵与 OTOC 联系起来，将 OTOC 衰减与普遍对数纠缠增长联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非混沌多体局域系统中，OTOC 如何行为，是否表现出普遍标度？
• RQ2 OTOC 是否能揭示区别于量子混沌或安德森局域化的混淆动力学？
• RQ3 局域化长度 $\xi$ 在控制 MBL 系统中信息混淆速率方面起什么作用？
• RQ4 MBL 系统中 OTOC 衰减是否由与无序分布无关的普遍幂律控制？
• RQ5 在 MBL 区域中，蝴蝶速度 $v_B$ 与混淆速率 $\xi$ 有何关系？

主要发现

• OTOC 仅在 $\xi \ln t > x$ 时开始衰减，其中 $x$ 是算符之间的最小距离，定义了一个特征时间 $\tau_B = e^{x/\xi}$ 的对数光锥。
• 当 $\xi \ln t > x$ 时，OTOC 衰减为 $2^{-\xi \ln t}$，表现出指数为 $\xi \ln 2$ 的普遍幂律衰减，且与无序分布无关。
• 第二 Rényi 熵以 $S_R^{(2)} = \xi \ln \tilde{t}$ 的形式对数增长，表明 MBL 系统中存在普遍对数信息混淆。
• 无量纲局域化长度 $\xi$ 同时作为信息混淆速率和对数光锥中的有效 Lieb-Robinson 速度。
• 对于呈指数衰减的相互作用，量子复发时间估计为 $e^{e^N}$ 量级，支持了在关注时间窗口内无复发的假设。
• 蝴蝶速度 $v_B$ 与 $\xi$ 的关系为 $v_B \sim e^{x/\xi}$，将算符传播速度与混淆速率联系起来。