[论文解读] Universality in Turbulence: an Exactly Soluble Model

Krzysztof Gawędzki, A. Kupiainen|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 1995

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 23被引用 28

一句话总结

本文提出了一种湍流中被动标量输运的精确可解模型，用于研究普适性，表明尽管关联函数表现出具有普适指数的异常标度，但非普适振幅随系统尺寸发散。通过红外重整化去除这些项后，关联函数展现出严格的普适性与正常标度，表明此类重整化在充分发展湍流中的普适性中至关重要。

ABSTRACT

The present note contains the text of lectures discussing the problem of universality in fully developed turbulence. After a brief description of Kolmogorov's 1941 scaling theory of turbulence and a comparison between the statistical approach to turbulence and field theory, we discuss a simple model of turbulent advection which is exactly soluble but whose exact solution is still difficult to analyze. The model exhibits a restricted universality. Its correlation functions contain terms with universal but anomalous scaling but with non-universal amplitudes typically diverging with the growing size of the system. Strict universality applies only after such terms have been removed leaving renormalized correlators with normal scaling. We expect that the necessity of such an infrared renormalization is a characteristic feature of universality in turbulence.

研究动机与目标

• 研究普适性在充分发展湍流中适用的程度，特别是惯性区标度的背景下。
• 分析一个简化的被动标量输运模型，该模型允许精确求解，作为普适性概念的测试平台。
• 识别高阶关联函数中非普适行为的根源，并确定是否可以恢复严格的普适性。
• 探讨红外发散的作用以及重整化在实现湍流系统中普适标度中的必要性。
• 将模型的行为与湍流中的更广泛问题联系起来，例如间歇性和体积保持微分同胚的作用。

提出的方法

• 构建一个由具有指定相关结构的高斯随机速度场驱动的被动标量模型，通过奇异椭圆多体算子实现精确求解。
• 推导出标量场的相等时间关联函数的精确表达式，包括两点、四点和六点函数。
• 分析在系统尺寸 $L \to \infty$ 和分子扩散系数 $\nu \to 0$ 极限下关联函数的渐近行为。
• 识别与异常标度相关且随 $L$ 发散的非普适振幅对应的 Fokker-Planck 算子的零模式。
• 通过减去非普适量项实施红外重整化，得到具有正常标度和严格普适性的关联函数。
• 使用 $\kappa$-展开（$\kappa$ 控制速度场相关性的衰减）分析高阶函数的结构及其标度行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在充分发展的湍流中，普适性在多大程度上成立，特别是在高阶关联函数中？
• RQ2 为何湍流系统中的关联函数表现出随系统尺寸发散的非普适振幅，尽管其标度指数是普适的？
• RQ3 能否从包含异常标度项和非普适振幅的关联函数中恢复严格的普适性？
• RQ4 红外重整化在恢复被动标量在湍流输运下稳态关联函数中普适性方面起什么作用？
• RQ5 该精确可解模型的结果如何增进对纳维-斯托克斯湍流中间歇性和标度行为的理解？

主要发现

• 稳态下的两点相等时间关联函数表现出具有异常指数的普适标度，与柯尔莫哥洛夫1941年理论一致。
• 对于确定性初始条件，标量关联函数表现出非普适衰减；但对均匀初始条件取平均后，得到具有普适超扩散衰减的行为。
• 高阶连通关联函数（如四点和六点函数）包含具有普适异常标度指数但非普适振幅的项，且这些振幅随 $L \to \infty$ 发散。
• 六点函数包含 Fokker-Planck 算子的零模式，导致具有变形齐次度的项，表明在小 $\kappa$ 时异常标度占主导。
• 通过红外重整化减去非普适量项后，所得关联函数在 $\nu \to 0$、$L \to \infty$ 极限下展现出正常标度和严格普适性。
• 稳态相等时间关联函数中无需进行与 $\nu$ 相关的减项，表明分子扩散系数主要确保稳态收敛，而非标度行为的重整化。