[论文解读] Universality of random matrices with correlated entries

Ziliang Che|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 36被引用 5

一句话总结

该论文在短程相关性和分段Lipschitz相关结构下，建立了具有相关条目的大维实对称随机矩阵的局部特征值统计的普遍性。通过证明最优尺度下的局部律，并采用Dyson布朗运动框架，表明谱体部的特征值统计与高斯正交系族（GOE）一致，将普遍性从独立条目模型扩展至更一般的相关模型。

ABSTRACT

We consider an $N$ by $N$ real symmetric random matrix $X=(x_{ij})$ where $\mathbb{E}x_{ij}x_{kl}=ξ_{ijkl}$. Under the assumption that $(ξ_{ijkl})$ is the discretization of a piecewise Lipschitz function and that the correlation is short-ranged we prove that the empirical spectral measure of $X$ converges to a probability measure. The Stieltjes transform of the limiting measure can be obtained by solving a functional equation. Under the slightly stronger assumption that $(x_{ij})$ has a strictly positive definite covariance matrix, we prove a local law for the empirical measure down to the optimal scale $ ext{Im} z \gtrsim N^{-1}$. The local law implies delocalization of eigenvectors. As another consequence we prove that the eigenvalue statistics in the bulk agrees with that of the GOE.

研究动机与目标

• 将Wigner-Dyson-Mehta普遍性猜想推广至具有广义相关条目的随机矩阵，超越独立或弱依赖模型。
• 在相关性为短程且由分段Lipschitz函数离散化时，建立经验谱测度的全局律。
• 在严格正定相关结构下，证明局部律可达到最优尺度 $\operatorname{Im}z \gtrsim N^{-1}$。
• 证明谱体部的局部特征值统计与GOE一致，确认在相关设定下的普遍性。
• 建立一个稳健的分析框架，用于处理一般相关结构下的格林函数与不动点方程。

提出的方法

• 利用相关张量 $\xi_{ijkl}$ 作为分段Lipschitz函数的离散化，推导出极限谱测度的Stieltjes变换的函数方程。
• 采用三步策略：(1) 通过格林函数条目 $G_{ii}(z)$ 的向量不动点方程的集中性和稳定性，证明局部律；(2) 分析Dyson布朗运动收敛至局部平衡的过程；(3) 使用扰动论证证明普遍性。
• 使用形式为 $v_i(z) = \frac{1}{-z - \sum_j S_{ij} v_j(z)} + o(1)$ 的向量不动点方程，其中 $S$ 为条目的协方差矩阵。
• 在谱体部建立不动点方程的稳定性，这对证明局部律至关重要。
• 通过Dyson布朗运动流使用比较方法，将动力学分解为GOE分量与相关分量。
• 应用连续性论证，并对归一化迹 $\frac{1}{N}\operatorname{tr}G$ 的导数施加高概率界，以控制流过程中的波动。

实验结果

研究问题

• RQ1 在短程相关性和分段Lipschitz相关结构下，相关Wigner型矩阵的经验谱测度是否收敛至确定性极限？
• RQ2 当相关结构为严格正定时，能否在最优尺度 $\operatorname{Im}z \gtrsim N^{-1}$ 下建立局部律？
• RQ3 即使条目具有一般相关性，谱体部的局部特征值统计是否仍与GOE一致？
• RQ4 局部特征值统计的普遍性是否对一般相关结构具有鲁棒性，超越独立或平移不变的情形？
• RQ5 在一般相关假设下，格林函数条目的不动点方程是否可在体部实现稳定？

主要发现

• 对于期望满足 $\mathbb{E}[x_{ij}x_{kl}] = \xi_{ijkl}$ 的 $N \times N$ 实对称随机矩阵 $X$，其经验谱测度收敛至一个极限概率测度，其Stieltjes变换满足一个函数方程。
• 在相关张量 $\xi$ 为严格正定的假设下，局部律在最优尺度 $\operatorname{Im}z \gtrsim N^{-1}$ 下成立，确保了格林函数归一化迹的高概率控制。
• 该矩阵的特征向量是延展的，这是局部律的推论。
• 谱体部的特征值 $k$-点关联函数收敛至GOE的对应值，确立了局部统计的普遍性。
• 比较定理表明，原始矩阵与Dyson布朗运动流的 $k$-点关联函数之差为 $\mathcal{O}(N^{-c})$（$c>0$），意味着收敛至GOE统计。
• 局部律对由 $θ$ 参数化的矩阵族 $H_\theta$ 一致成立，使得在普遍性证明中可使用连续性与比较论证。