[论文解读] Universality of smoothness of Density of States in arbitrary higher-dimensional disorder under non-local interactions I. From Viéte--Euler identity to Anderson localization

Victor Chulaevsky|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2016

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 73被引用 3

一句话总结

该论文在任意维度的非局域相互作用无序量子系统中，建立了密度态（IDS）的普遍光滑性，证明了在 $ d \geq 2 $ 时其无限次可微，在 $ d = 1 $ 时为 Hölder 连续。其机制源于通过长程相互作用对无序进行多次卷积，即使在无序分布为奇异或离散时也能实现正则化，从而获得超越标准 Wegner 估计的谱正则性，并实现对不同类型无序的统一处理，而无需简化为伯努利模型。

ABSTRACT

It is shown that in a large class of disordered systems with non-degenerate disorder, in presence of non-local interactions, the Integrated Density of States (IDS) is at least Hölder continuous in one dimension and universally infinitely differentiable in higher dimensions. This result applies also to the IDS in any finite volume subject to the random potential induced by an ambient, infinitely extended disordered media. Dimension one is critical: in the Bernoulli case, within the class of exponential interactions, the IDS measure undergoes continuity phase transitions, from absolutely continuous to singular continuous behaviour (the singularity in the latter case was known before). The continuity transitions do not occur for sub-exponential or slower decaying interactions, nor for $d\ge 2$. Technically, the case of polynomial decay is the simplest one. The proposed approach provides a complement to the classical Wegner estimate which says, essentially, that the IDS in the short-range models is at least as regular as the marginal distribution of the disorder. In the models with non-local interaction the IDS is actually much more regular than the underlying disorder, which can even be discrete, due to the smoothing effect of multiple convolutions. In turn, smoothness of the IDS is responsable for a mechanism complementing the usual Lifshitz tails phenomenon. It is also shown that the disorder can take various forms (e.g., substitution or random displacements) and need not be stochastically stationary (as in Delone--Anderson or trim\-med/crooked Hamiltonians, for example); this does not affect the main phenomena observed already in the simplest setting. Long-range models have an amazingly large number of connections to several classical problems of harmonic analysis, probability theory, dynamical systems and number theory.

研究动机与目标

• 在任意维度的具有非局域相互作用的无序量子系统中，建立积分密度态（IDS）的普遍光滑性。
• 证明 IDS 的正则性普遍优于底层无序分布，即使后者为离散或奇异分布，这是由于多次卷积的累积效应所致。
• 在不将无序简化为伯努利模型的前提下，统一处理多种无序类型（如替代无序、随机位移或非平稳无序）。
• 提供一种分析框架，通过非局域屏蔽效应在密度态中生成“薄尾”，从而补充 Lifshitz 尾部现象。
• 为证明无限范围相互作用模型中的安德森局域化奠定分析基础，完整证明将推迟至附录论文中。

提出的方法

• 利用 Viéte–Euler 恒等式与调和分析，分析累积势的特征函数，从而控制 IDS 的正则性。
• 应用卷积引理，表明即使单个无序变量为奇异分布，累积势 $ V(x, \omega) $ 的边缘分布仍可变得光滑。
• 采用特征值浓度与比较估计，通过伯恩斯坦型不等式控制谱波动，从而界定有限体积下的 IDS。
• 推导出 Wegner 型估计，反映 IDS 的正则性超越底层无序分布正则性的事实。
• 分析相互作用核的多项式衰减与指数衰减，其中多项式衰减作为建立光滑性的最简情形。
• 提出一种处理非平稳与相关无序的框架，包括 Delone–Anderson 与修剪/扭曲哈密顿量，且无需假设随机平稳性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非局域且长程相互作用下，高维无序系统中的积分密度态（IDS）是否仍保持光滑？
• RQ2 当底层无序分布为离散或奇异时，IDS 的正则性是否仍可超越其底层分布？
• RQ3 非局域相互作用如何影响能带边缘附近的谱行为，特别是与 Lifshitz 尾部的关系？
• RQ4 能否通过统一的分析方法处理多种无序类型（如替代、随机位移或非平稳构型），而无需简化为伯努利模型？
• RQ5 多次卷积在增强累积势及其谱测度的光滑性方面起到何种作用？

主要发现

• 在 $ d \geq 2 $ 时，由于非局域相互作用的平滑效应，积分密度态（IDS）对任意底层无序类型均普遍具有无限次可微性。
• 在一维情况下，IDS 保持 Hölder 连续，但对于指数型相互作用，其行为在绝对连续与奇异连续之间发生连续性相变。
• 对于次指数或更慢衰减的相互作用，此类相变不会发生，表明指数屏蔽在一维系统中具有关键作用。
• 即使底层无序的边缘分布为离散分布，IDS 的正则性也显著优于其分布，该现象可通过相互作用核的多次卷积加以解释。
• Wegner 估计得到改进：IDS 的正则性超越底层无序分布，且界值依赖于相互作用核的衰减速率。
• 该框架可统一适用于非平稳与相关无序模型，如随机偶极子、随机位移及修剪哈密顿量，且无需假设平稳性。