[论文解读] Unobstructedness and dimension of families of Gorenstein algebras

Jan O. Kleppe|ArXiv.org|Mar 5, 2007

Commutative Algebra and Its Applications被引用 6

一句话总结

本论文通过将 Gorenstein 商环构造为算术 Cohen-Macaulay 算术概形上极大 Cohen-Macaulay 线丛的正则截面的退化点，发展了一般性的变形理论。在保证该线丛的行列式为 canonical 线丛的 twist 的条件下，证明了变形的无阻碍性，并给出了 Gorenstein 代数最大族的显式维数公式，特别适用于余维 4 的 Gorenstein 概形以及 ℙ⁵ 中的算术 Gorenstein 曲线。

ABSTRACT

The goal of this paper is to develop tools to study maximal families of Gorenstein quotients A of a polynomial ring R. We prove a very general Theorem on deformations of the homogeneous coordinate ring of a scheme Proj(A) which is defined as the degeneracy locus of a regular section of the dual of some sheaf M^~ of rank r supported on say an arithmetically Cohen-Macaulay subscheme Proj(B) of Proj(R). Under certain conditions (notably; M maximally Cohen-Macaulay and the top exterior power of M^~ a twist of the canonical sheaf), then A is Gorenstein, and under additional assumptions, we show the unobstructedness of A and we give an explicit formula the dimension of any maximal family of Gorenstein quotients of R with fixed Hilbert function obtained by a regular section as above. The theorem also applies to Artinian quotients A. The case where M itself is a twist of the canonical module (r=1) was studied in a previous paper, while this paper concentrates on other low rank cases, notably r=2 and 3. In these cases regular sections of the first Koszul homology module and of normal sheaves to licci schemes (of say codimension 2) lead to Gorenstein quotients (of e.g. codimension 4) whose parameter spaces we examine. Our main applications are for Gorenstein quotients of codimension 4 of R since our assumptions are almost always satisfied in this case. Special attention are paid to arithmetically Gorenstein curves in P^5.

研究动机与目标

• 为研究多项式环的 Gorenstein 商环的最大族提供工具，特别是余维 4 的情形。
• 确立此类 Gorenstein 商环在其变形理论中无阻碍的条件。
• 为具有固定 Hilbert 函数的 Gorenstein 商环最大族提供显式维数公式。
• 将先前关于秩 1 线丛的结果推广至更高秩情形，特别是 r=2 和 r=3 的情况。
• 考察 Gorenstein 概形的参数空间，包括 ℙ⁵ 中的算术 Gorenstein 曲线和 Artinian Gorenstein 代数。

提出的方法

• 将 Gorenstein 商环 A 构造为算术 Cohen-Macaulay 概形 Y=Proj(B) 上极大 Cohen-Macaulay 线丛 M 的对偶的正则截面的退化点。
• 施加条件以确保 M 的最高外幂同构于 B 的 canonical 线丛的 twist，即 ∧ʳM ≅ K_B(t)。
• 应用推广的变形定理（定理 22），以退化点的几何假设（关于线丛 M 及其 Koszul 同调）替代上同调消失条件 H²(B,A,A)=0。
• 利用由 M* 的正则截面 σ 导出的 Koszul 分辨，导出定义 A 的正合列，如 0 → K_B(t-2s) → M(-s) → B → A → 0。
• 应用局部上同调与深度论证，验证阻碍群的消失，特别是 H¹_* (U, M_{i+1})=0（1≤i≤r−1）。
• 利用 Gorenstein 对偶性及 Ext 模的性质，证明无阻碍性并计算模空间的维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Gorenstein 商环 A 由极大 Cohen-Macaulay 线丛 M 的正则截面导出时，在其变形空间中，其无阻碍性的条件是什么？
• RQ2 当 A 作为 M* 的正则截面的退化点时，具有固定 Hilbert 函数 H 的多项式环 R 的 Gorenstein 商环最大族的维数是多少？
• RQ3 与秩 r=1 的情形相比，当线丛 M 的秩为 r=2 或 r=3 时，Gorenstein 代数的变形性质如何变化？
• RQ4 关于无阻碍性与维数的结果在多大程度上可推广至 Artinian Gorenstein 代数？
• RQ5 在这些构造下，ℙ⁵ 中算术 Gorenstein 曲线的参数空间与 Hilbert 概形及 postulation Hilbert 概形之间有何关系？

主要发现

• 本文证明：若 M 是秩为 r 的 B-模，且满足 ∧ʳM ≅ K_B(t)，则 M* 的正则截面可定义一个 Gorenstein 商环 A。
• 在条件 H¹_*(U, M_{i+1})=0（1≤i≤r−1）下，A 的无阻碍性得以确立，其中 U 是 Y 的大开子概形。
• 当 r=2 和 r=3 时，该构造可生成 R 中余维 4 的 Gorenstein 商环，特别适用于 ℙ⁵ 中的算术 Gorenstein 曲线。
• 具有固定 Hilbert 函数 H 的此类 Gorenstein 商环最大族的维数由线丛 M 及其 twist 的 Euler 示性数公式给出。
• 结果推广了先前关于秩 1 线丛的工作，并将变形理论工具的应用范围扩展至高秩情形。
• 证明了 GradAlg^H(R)、PGor(H) 与 Hilbert 概形的开子概形之间的同构为概形-理论（或无穷小/拓扑）同构，特别适用于余维 4 的情形，从而支持维数与光滑性的比较。