[论文解读] Unsolved Problems in Visibility Graphs of Points, Segments and Polygons

Subir Kumar Ghosh, Partha P. Goswami|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 99被引用 5

一句话总结

本综述论文汇集了点、线段和多边形的可见性图领域中的开放问题与猜想，涵盖识别、表征、重构、团计算、计数及表示等问题。它指出了计算几何中的基本挑战，包括可见性图识别的NP完全性以及表示复杂度的界限。主要贡献在于系统列出了43个开放问题，并对可见性图的表示与计数问题给出了更紧的界限。

ABSTRACT

In this survey paper, we present open problems and conjectures on visibility graphs of points, segments and polygons along with necessary backgrounds for understanding them.

研究动机与目标

• 整理并呈现点、线段和多边形的可见性图中未解决问题的全面列表。
• 识别计算几何研究中可见性图识别、表征与重构的基本挑战。
• 研究可见性图表示的复杂度，包括整数坐标下位串大小要求及覆盖集表示的复杂度。
• 探讨最大团计算与可见性图计数等问题的计算难度。
• 建立简单多边形的非同构可见性图数量及其实现表示空间复杂度的更紧界限。

提出的方法

• 综述计算几何与几何图论中关于可见性图的现有文献。
• 基于几何可见性准则，为点、不相交线段以及带或不带孔的简单多边形定义可见性图。
• 展示计算可见性图的算法，包括点集的$O(n^2)$时间复杂度算法，以及简单多边形的$O(E)$输出敏感时间复杂度算法。
• 引入三角形可扩展排序（triangle-extendible ordering）的概念，并阐明其在最大团计算中的相关性。
• 利用Warren定理，将简单多边形的非同构可见性图数量界限为$2^{O(n\log n)}$。
• 提出一种基于团与完全二分图的可见性图覆盖集表示方法，其位串大小界限为$O(n\log^4 n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 若整数坐标可能需要指数位数表示，则可见性图识别是否属于NP类？
• RQ2 是否可仅用多项式位数的整数坐标表示所有可见性图端点？
• RQ3 最优覆盖集表示的可见性图所需位数的紧渐近界限为何？
• RQ4 可见性图中的最大团问题是否为NP难，或可在多项式时间内求解？
• RQ5 对于具有$n$个顶点的简单多边形，其非同构可见性图数量的改进下界与上界为何？

主要发现

• 简单多边形的非同构可见性图数量至少为$2^{n-4}$，至多为$2^{O(n\log n)}$，表明上下界之间仍存在显著差距。
• 除非整数坐标可用多项式位数表示，否则可见性图识别是否属于NP类尚不明确。
• 可见性图的覆盖集表示在最坏情况下至少需要$\Omega(n\log^2 n)$位，而目前已知的最佳构造方法仅需$O(n\log^4 n)$位。
• 若已知哈密顿回路（即多边形边界），则简单多边形的可见性图中的最大团计算可在$O(n^2 e)$时间内求解。
• 不相交线段与多边形的可见性图可在$O(n^2)$时间内计算，且对简单多边形存在输出敏感的算法。
• 具有同构可见性图的两个多边形可能不相似，表明仅凭可见性图无法唯一确定多边形形状的相似性。