[论文解读] Upper bound by Kolmogorov complexity for the probability in computable POVM measurement

Kohtaro Tadaki|ArXiv.org|Dec 11, 2002

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文证明，对于任意可计算的 POVM 测量，在有限维量子系统中，若结果为可数的，那么每个结果 $ s $ 的概率被上界限制为 $ 2^{-K(s)} $，其中 $ K(s) $ 是结果字符串的柯尔莫哥洛夫复杂度，上界中仅含一个乘法常数。该结果将经典通用概率推广至矩阵值函数，将其识别为 POVM，并表明量子测量概率受到柯尔莫哥洛夫复杂度的算法约束。

ABSTRACT

We apply algorithmic information theory to quantum mechanics in order to shed light on an algorithmic structure which inheres in quantum mechanics. There are two equivalent ways to define the (classical) Kolmogorov complexity K(s) of a given classical finite binary string s. In the standard way, K(s) is defined as the length of the shortest input string for the universal self-delimiting Turing machine to output s. In the other way, we first introduce the so-called universal probability m, and then define K(s) as -log_2 m(s) without using the concept of program-size. We generalize the universal probability to a matrix-valued function, and identify this function with a POVM (positive operator-valued measure). On the basis of this identification, we study a computable POVM measurement with countable measurement outcomes performed upon a finite dimensional quantum system. We show that, up to a multiplicative constant, 2^{-K(s)} is the upper bound for the probability of each measurement outcome s in such a POVM measurement. In what follows, the upper bound 2^{-K(s)} is shown to be optimal in a certain sense.

研究动机与目标

• 使用算法信息理论研究量子测量背后的算法结构。
• 通过矩阵值函数将经典字符串的通用概率概念推广至量子测量。
• 利用柯尔莫哥洛夫复杂度，为可计算 POVM 中测量结果的概率建立一个基本的上界。
• 阐明量子测量概率与经典算法概率之间的关系。

提出的方法

• 将经典通用概率 $ m(s) $ 推广为一个矩阵值函数 $ M(s) $，该函数被识别为通用半 POVM。
• 通过一个可计算的 POVM $ \{R(s)\} $ 定义量子测量，其结果由有限二进制字符串 $ s $ 标记。
• 利用关系式 $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) \leq c \cdot P(s) $，其中 $ P(s) $ 是在公平抛硬币程序磁带上输出 $ s $ 的通用概率。
• 建立不等式 $ -\log_2 \operatorname{tr}(\rho R(s)) \geq K(s) - d $，其中 $ d $ 为某个常数，表明 $ 2^{-K(s)} $ 在乘法因子内上界限制了概率。
• 证明矩阵值通用半 POVM $ M(s) $ 满足 $ M(s) \sim m(s) I $，从而将量子与经典通用概率联系起来。
• 证明通用半 POVM 在可计算酉变换下保持不变，从而保持其算法普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 柯尔莫哥洛夫复杂度如何约束可计算 POVM 测量中结果的概率？
• RQ2 经典通用概率能否推广为描述量子测量的矩阵值函数？
• RQ3 量子测量概率 $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) $ 与经典通用概率 $ P(s) $ 之间有何关系？
• RQ4 是否存在一种量子柯尔莫哥洛夫复杂度的类比，能够上界限制测量结果的概率？
• RQ5 可计算酉不变性如何影响半 POVM 在量子测量中普遍性的保持？

主要发现

• 对于任意可计算 POVM 测量，在有限维量子系统中，结果 $ s $ 的概率满足 $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) \leq c \cdot P(s) $，其中 $ c > 0 $，且 $ P(s) $ 是在公平抛硬币程序磁带上输出 $ s $ 的通用概率。
• 结果 $ s $ 的概率在乘法常数因子内被 $ 2^{-K(s)} $ 上界限制，即 $ \operatorname{tr}(\rho R(s)) \leq c \cdot 2^{-K(s)} $。
• 存在某个常数 $ d $，使得不等式 $ K(s) - d \leq -\log_2 \operatorname{tr}(\rho R(s)) $ 成立，表明 $ 2^{-K(s)} $ 在常数因子内是概率的上界。
• 定义为通用半 POVM 的矩阵值函数 $ M(s) $ 满足 $ M(s) \sim m(s) I $，其中 $ m(s) $ 是经典通用概率。
• 每个对角线元素 $ M_{ii}(s) $ 和归一化迹 $ \frac{1}{N} \operatorname{tr}(M(s)) $ 均为通用概率，这意味着通用半 POVM 不可计算。
• 通用半 POVM 在可计算酉变换下保持不变：若 $ U $ 是可计算的，则 $ U^\dagger M(s) U $ 也是通用半 POVM。