[论文解读] Upper Bounds on Syntactic Complexity of Left and Two-Sided Ideals

Janusz Brzozowski, Marek Szykuła|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2014

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 7

一句话总结

该论文通过证明左理想和双边理想的语法复杂性的紧致上界，解决了形式语言理论中的两个开放问题。它表明，具有 n 个商的左理想的语法幺半群最多包含 $ n^{n-1} + n - 1 $ 个元素，双边理想的语法幺半群最多包含 $ n^{n-2} + (n-2)2^{n-2} + 1 $ 个元素，且这两个上界均为紧致的，此前已被猜想。

ABSTRACT

We solve two open problems concerning syntactic complexity: We prove that the cardinality of the syntactic semigroup of a left ideal or a suffix-closed language with $n$ left quotients (that is, with state complexity $n$) is at most $n^{n-1}+n-1$, and that of a two-sided ideal or a factor-closed language is at most $n^{n-2}+(n-2)2^{n-2}+1$. Since these bounds are known to be reachable, this settles the problems.

研究动机与目标

• 解决关于左理想的语法复杂性受 $ n^{n-1} + n - 1 $ 限制的开放猜想。
• 解决关于双边理想的语法复杂性受 $ n^{n-2} + (n-2)2^{n-2} + 1 $ 限制的开放猜想。
• 通过证明这些上界是可实现的，从而证明其紧致性，最终解决这两个猜想。
• 通过状态上的变换性质和排序关系，分析最小化DFA的转移幺半群的结构，适用于左理想和双边理想。

提出的方法

• 为左理想构造一个具有 n 个状态的最小化DFA，并分析其转移幺半群 $ T_n $，该幺半群与语法幺半群同构。
• 基于可达性和变换行为，在状态上定义一个偏序 $ riangleleft $，特别关注状态 $ n-1 $ 作为吸收态或不动点的作用。
• 根据循环结构、不动点以及关键状态 $ p $ 和 $ n-1 $ 的像关系，将幺半群中的变换划分为互不相交的类别。
• 使用从变换 $ t $ 到 $ s $ 的单射映射 $ f $，其中 $ s $ 通过修改 $ t $ 的像以在 $ n-1 $ 处创建不动点而得到，确保各类别之间无重复。
• 通过反证法证明所有变换均被该分类覆盖，表明若不满足条件将导致循环存在，与假设矛盾。
• 证明当且仅当幺半群等于集合 $ S_n $ 时，转移幺半群的大小达到最大值，且已证明该集合的基数为所声称的值。

实验结果

研究问题

• RQ1 左理想在状态复杂度为 $ n $ 时，上界 $ n^{n-1} + n - 1 $ 是否紧致？
• RQ2 双边理想在状态复杂度为 $ n $ 时，上界 $ n^{n-2} + (n-2)2^{n-2} + 1 $ 是否紧致？
• RQ3 能否通过转移幺半群的结构分析，正式证明左理想和双边理想的语法复杂性所猜想的上界？
• RQ4 最小化DFA的转移幺半群在这些理想类中具有何种结构特性，使其达到最大可能大小？

主要发现

• 具有 $ n $ 个商的左理想的语法复杂性最多为 $ n^{n-1} + n - 1 $，且该上界是紧致的。
• 具有 $ n $ 个商的双边理想的语法复杂性最多为 $ n^{n-2} + (n-2)2^{n-2} + 1 $，且该上界是紧致的。
• 左理想最小化DFA的转移幺半群仅在等于集合 $ S_n $ 时达到最大大小，该集合的基数为 $ n^{n-1} + n - 1 $。
• 对于双边理想，最大幺半群大小 $ n^{n-2} + (n-2)2^{n-2} + 1 $ 当且仅当幺半群等于 $ S_n $ 时实现，该结论通过单射映射和分类分析得以证明。
• 证明依赖于对变换的12种互不相交类别的详细分类，基于循环结构、不动点和像映射，确保了完备性和互异性。
• 从变换 $ t $ 到 $ s $ 的单射映射 $ f $，通过修改像以在 $ n-1 $ 处创建不动点而定义，确保任意两个不同的变换不会映射到同一个 $ s $，这对限制幺半群大小至关重要。