[论文解读] Urod algebras and Translation of W-algebras

Tomoyuki Arakawa, Thomas Creutzig+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2020

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文为单连通李代数引入了Urod代数，并通过证明量子Drinfeld-Sokolov约化与可积仿射顶点代数的张量积可交换，建立了W代数的平移函子。关键结果是顶点代数同构 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L $，该结果使得例外W代数的融合范畴得以构造，并为 $\mathbb{CP}^2$ 上秩-$n$层的Nakajima-Yoshioka爆破方程提供了表示论解释。

ABSTRACT

In this work, we introduce Urod algebras associated to simply-laced Lie algebras as well as the concept of translation of W-algebras. Both results are achieved by showing that the quantum Hamiltonian reduction commutes with tensoring with integrable representations, that is, for $V$ and $L$ an affine vertex algebra and an integrable affine vertex algebra associated with $\mathfrak{g}$, we have the vertex algebra isomorphism $H_{DS,f}^0(V\otimes L)\cong H_{DS,f}^0(V)\otimes L$, where in the left-hand-side the Drinfeld-Sokolov reduction is taken with respect to the diagonal action of $\widehat{\mathfrak{g}}$ on $V\otimes L$. The proof is based on some new constructionof automorphisms of vertex algebras, which may be of independent interest. As corollaries we get fusion categories of modules of many exceptional W-algebras and we can construct various corner vertex algebras. A major motivation for this work is that Urod algebras of type $A$ provide a representation theoretic interpretation of the celebrated Nakajima-Yoshioka blowup equations for the moduli space of framed torsion free sheaves on $\mathbb{CP}^2$ of an arbitrary rank.

研究动机与目标

• 为任意秩的单连通李代数建立Urod代数的系统性框架，推广此前对秩二情形的结果。
• 利用仿射Kac-Moody代数的可积表示，发展W代数的平移函子。
• 证明量子Drinfeld-Sokolov约化与可积模的张量积可交换，从而实现顶点代数与模的新构造。
• 为 $\mathbb{CP}^2$ 上框架化无挠层的Nakajima-Yoshioka爆破方程在任意秩下提供表示论解释。
• 通过约化同构构造角点顶点代数，并在W代数模上建立张量范畴结构。

提出的方法

• 通过一种新的顶点代数自同构构造，证明量化Drinfeld-Sokolov约化与可积仿射顶点代数 $L_{\ell}(\mathfrak{g})$ 的张量积可交换。
• 利用同构 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g})) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g}) $ 在W代数模范畴上定义平移函子 $ T_L $。
• 应用Frobenius互反律与表示论工具，验证诱导函子是全忠实的并保持张量结构。
• 利用BRST上同调的同构 $ H_{DS,f}^{\bullet}(M\otimes N) \cong H_{DS,f}^{\bullet}(M)\otimes N $，其中 $M$ 为 $V$-模，$N$ 为 $\mathbb{L}_\ell(\mathfrak{g})$-模。
• 将角点顶点代数构造为由约化同构诱导的自同构下的固定点子代数。
• 将结果应用于 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ 的情形，通过AGT对应关系解释Nakajima-Yoshioka爆破方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Urod代数从秩二推广到单连通李代数的任意秩？
• RQ2 由可积表示诱导的W代数模范畴上的平移函子 $ T_L $ 的结构是什么？
• RQ3 量子Drinfeld-Sokolov约化是否与可积仿射顶点代数的张量积可交换？
• RQ4 约化同构 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L $ 如何导致例外W代数的融合范畴？
• RQ5 能否通过W代数的表示理论解释 $\mathbb{CP}^2$ 上秩-$n$层的Nakajima-Yoshioka爆破方程？

主要发现

• 量子Drinfeld-Sokolov约化与可积仿射顶点代数的张量积可交换，对 $V^k(\mathfrak{g})$ 的任意商代数 $V$，有同构 $ H_{DS,f}^{0}(V\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g})) \cong H_{DS,f}^{0}(V)\otimes L_{\ell}(\mathfrak{g}) $。
• 该同构建立了平移函子 $ T_L: \mathscr{W}^k(\mathfrak{g},f)\text{-Mod} \to \mathscr{W}^{k+\ell}(\mathfrak{g},f)\text{-Mod} $，$ M \mapsto M\otimes L $，其为正合函子并保持模结构。
• 该构造导致了众多例外W代数模的融合范畴，通过Deligne积与诱导张量函子的全忠实性得以证明。
• 角点顶点代数被构造为由约化同构诱导的自同构下的固定点子代数。
• 类型 $A_n$ 的Urod代数为 $\mathbb{CP}^2$ 上框架化无挠层的Nakajima-Yoshioka爆破方程在任意秩下提供了表示论解释。
• 在通用水平下假设顶点张量范畴结构成立，通过完备化与扩张理论，结果可推广至通用水平，暗示更广泛的应用潜力。