[论文解读] Use of MAX-CUT for Ramsey Arrowing of Triangles

Alexander Lange, Stanisław Radziszowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 13

一句话总结

该论文改进了边 Folkman 数 $F_e(3,3;4)$ 的上界，该数表示在任意二元边着色下强制出现单色三角形的 $K_4$-自由图的最小阶数。通过构造一个修改后的循环图 $G_{786}$ 并应用 MAX-CUT 半定规划松弛（Goemans-Williamson 算法），作者证明了 $F_e(3,3;4) \leq 786$，将此前的最佳上界 941 显著降低。

ABSTRACT

In 1967, Erdős and Hajnal asked the question: Does there exist a $K_4$-free graph that is not the union of two triangle-free graphs? Finding such a graph involves solving a special case of the classical Ramsey arrowing operation. Folkman proved the existence of these graphs in 1970, and they are now called Folkman graphs. Erdős offered \$100 for deciding if one exists with less than $10^{10}$ vertices. This problem remained open until 1988 when Spencer, in a seminal paper using probabilistic techniques, proved the existence of a Folkman graph of order $3 imes 10^9$ (after an erratum), without explicitly constructing it. In 2008, Dudek and Rödl developed a strategy to construct new Folkman graphs by approximating the maximum cut of a related graph, and used it to improve the upper bound to 941. We improve this bound first to 860 using their approximation technique and then further to 786 with the MAX-CUT semidefinite programming relaxation as used in the Goemans-Williamson algorithm.

研究动机与目标

• 改进边 Folkman 数 $F_e(3,3;4)$ 的上界，该数定义为在任意二元边着色下强制出现单色三角形的 $K_4$-自由图的最小阶数。
• 解决 Erdős 于 1975 年提出的一个长期悬而未决的问题，他提出 100 美元用于证明 $F_e(3,3;4) < 10^{10}$，后 Graham 又提出 100 美元用于证明 $F_e(3,3;4) < 100$。
• 扩展并改进 Dudek 和 Rödl（2008）提出用于构造箭头 $(3,3)$ 图的 MAX-CUT 近似技术，利用半定规划以获得更紧的界。
• 提供一个构造性证明，即存在一个阶数为 786 的 $K_4$-自由图，满足 Ramsey 箭头条件 $G \rightarrow (3,3)$，从而确立新的上界。

提出的方法

• 从候选图 $G$ 构造图 $H_G$，使得 $H_G$ 的最大割大小决定了 $G \rightarrow (3,3)$ 是否成立。
• 使用 Goemans-Williamson 半定规划松弛方法计算 $H_G$ 的 MAX-CUT 大小的上界，其精度高于谱界。
• 通过 SpeeDP 算法应用 SDP 松弛，对候选图 $G$（包括 $L(785,53)$ 及其修改版本 $G_{786}$）计算 $MC(H_G)$ 的高精度上界。
• 通过向循环图 $L(785,53)$ 添加一个与 60 个特定顶点相连的顶点，对图进行修改，使 MAX-CUT 上界低于 $2t_\triangle(G)$，即图 $G$ 中三角形的数量。
• 利用如下事实：若 $MC(H_G) < 2t_\triangle(G)$，则 $G \rightarrow (3,3)$，从而通过 MAX-CUT 方法证明 Ramsey 箭头关系。
• 使用谱界和 SDP 求解器（SDPLR-MC 和 SBmethod）计算并验证 MAX-CUT 的上界，其中 SpeeDP 提供了 $MC(H_{G_{786}})$ 的更紧下界 857742。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用 MAX-CUT 半定规划松弛方法，构造一个阶数小于 941 的 $K_4$-自由图，使其在任意二元边着色下强制出现单色三角形？
• RQ2 是否可以通过系统性地修改循环图并结合 MAX-CUT 近似方法，将 $F_e(3,3;4)$ 的上界进一步改进，超越此前 941 的最佳结果？
• RQ3 由 $L(785,53)$ 衍生出的修改图 $G_{786}$ 是否满足 $G_{786} \rightarrow (3,3)$，从而证明 $F_e(3,3;4) \leq 786$？
• RQ4 在 Ramsey 箭头问题的背景下，SDP 松弛方法是否能为 MAX-CUT 提供比谱方法更紧的界？
• RQ5 是否存在一个 $K_4$-自由图，其阶数最小且在每种二元边着色下均强制出现单色三角形？该最小阶数能否被构造性地计算出来？

主要发现

• 作者构造了一个阶数为 786 的 $K_4$-自由图 $G_{786}$，满足 $G_{786} \rightarrow (3,3)$，从而证明了 $F_e(3,3;4) \leq 786$。
• MAX-CUT 的 SDP 松弛给出了 $MC(H_{G_{786}})$ 的上界 857753，该值严格小于 $2t_\triangle(G_{786}) = 857762$，从而确认了箭头条件成立。
• SpeeDP 计算提供了更精细的下界 $857742 \leq MC(H_{G_{786}})$，确认 MAX-CUT 大小小于三角形数的两倍。
• 修改后的图 $G_{786}$ 共有 61,290 条边和 428,881 个三角形，在添加一个与 60 个顶点相连的顶点后，仍保持 $K_4$-自由。
• 对 $L(785,53)$ 和 $G_{786}$ 的 SDP 边界与谱边界一致，但本研究中 SDP 松弛比谱方法更紧，验证了其优越性。
• 本工作将 $F_e(3,3;4)$ 的上界从 941（Dudek-Rödl, 2008）降低至 786，显著推进了寻找最小 Folkman 图的进程。