[论文解读] Using path integrals to price interest rate derivatives

Matthias Otto|ArXiv.org|Dec 18, 1998

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 14

一句话总结

本文提出了一种基于路径积分的利率衍生品定价方法，避免了传统偏微分方程和随机过程的显式求解。通过使用Martin-Siggia-Rose形式化方法，该方法成功恢复了Vasicek零息债券及期权的价格，证明了该方法在短期利率模型中进行解析与数值应用的可行性。

ABSTRACT

We present a new approach for the pricing of interest rate derivatives which allows a direct computation of option premiums without deriving a (Black-Scholes type) partial differential equation and without explicitly solving the stochastic process for the underlying variable. The approach is tested by rederiving the prices of a zero bond and a zero bond option for a short rate environment which is governed by Vasicek dynamics. Furthermore, a generalization of the method to general short rate models is outlined. In the case, where analytical solutions are not accessible, numerical implementations of the path integral method in terms of lattice calculations as well as path integral Monte Carlo simulations are possible.

研究动机与目标

• 开发一种基于路径积分的新框架，用于利率衍生品定价，避免依赖Black-Scholes型偏微分方程。
• 在Vasicek动态下，针对可解析求解的情形（特别是零息债券和零息债券期权）测试该方法。
• 将该方法推广至由随机微分方程描述的任意短期利率模型。
• 通过格点离散化和路径积分蒙特卡洛模拟，实现数值化应用，以应对无解析解的模型。

提出的方法

• 路径积分形式化源自Martin-Siggia-Rose（MSR）随机微分计算框架，避免了直接推导偏微分方程。
• Vasicek模型下的短期利率动态以带有高斯白噪声驱动的Langevin方程表示。
• 为短期利率路径构建了概率密度泛函，通过类似哈密顿量的作用量编码随机动力学。
• 路径积分作用量的一般形式包含漂移项与波动率项，当波动率依赖于利率水平或时间时，引入辅助场。
• 通过在所有利率路径上进行泛函积分，对加权于作用量负指数的项进行衍生品定价。
• 通过时间的格点离散化以及对辅助场实部与虚部的积分，实现数值化实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不求解偏微分方程的情况下，利用路径积分对利率衍生品进行定价？
• RQ2 路径积分方法能否在Vasicek模型下重现零息债券及期权的已知解析结果？
• RQ3 如何将路径积分形式化推广至波动率非恒定及时间依赖漂移的短期利率模型？
• RQ4 当解析解不可用时，可采用哪些数值策略？
• RQ5 路径积分方法能否作为新金融模型与数值模拟的基础？

主要发现

• 路径积分方法成功重现了Vasicek模型下的零息债券价格，证实其与既有模型的一致性。
• 该方法正确恢复了在Vasicek动态下零息债券期权的Jamshidian公式。
• 推导出适用于任意短期利率模型（含时间与利率依赖的漂移与波动率）的一般路径积分作用量。
• 当波动率非恒定时，引入辅助场是必要的，从而实现对复数场的泛函积分。
• 该框架可通过格点离散化与路径积分蒙特卡洛模拟支持数值计算，适用于无解析解的模型。
• 该方法为固定收益衍生品定价提供了一种统一且具有物理动机的替代方案，优于传统的PDE与SDE方法。