[论文解读] Valuations and Metrics on Partially Ordered Sets

Chris Orum, Cliff Joslyn|ArXiv.org|Mar 16, 2009

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文扩展了偏序集（posets）上取值理论，引入了保序与反序的上取值与下取值，并研究了这些取值在取对数变换后是否保持取值性质的条件。关键结果是：正的上取值的对数仍为上取值，但下取值的对数未必保持下取值性质，这对计算语言学与生物学中的相似性度量具有影响。

ABSTRACT

We extend the definitions of upper and lower valuations on partially ordered sets, and consider the metrics they induce, in particular the metrics available (or not) based on the logarithms of such valuations. Motivating applications in computational linguistics and computational biology are indicated.

研究动机与目标

• 将偏序集上取值的定义扩展至包含反序映射，增强取值理论中的对称性。
• 研究正取值的对数是否保持上取值或下取值性质，解决信息含量与相似性度量中的关键问题。
• 阐明基于信息含量的相似性度量的度量性质，特别是Jiang-Conrath距离公式。
• 提供对数复合取值生成有效上取值或下取值的条件，以用于度量构造。
• 证明Jiang-Conrath距离公式在一般偏序集上不构成度量，但在树结构上则构成度量。

提出的方法

• 在偏序集中引入保序与反序的上取值与下取值，将先前定义推广至包含两种单调性方向。
• 基于主理想或主滤子交集的下确界/上确界，定义关键函数 $ v^{-}(x,y) $ 与 $ v^{+}(x,y) $。
• 建立上取值与下取值的核心不等式条件：上取值满足 $ v^{-}(x,y) + v^{+}(x,y) \leq v(x) + v(y) $，下取值满足 $ v(x) + v(y) \leq v^{-}(x,y) + v^{+}(x,y) $。
• 分析 $ \ell(x) = \log u(x) $ 在正的上取值 $ u $ 下的行为，通过对数不等式变换证明其仍为上取值。
• 利用布尔格 $ M_2 $ 构造反例，表明下取值 $ v $ 的对数 $ \log v(x) $ 不一定是下取值或上取值。
• 对上取值应用变换 $ L(x) = \log(K \cdot u(x) + A) $，对下取值应用 $ L'(x) = -\log(K \cdot v(x) + A) $，并建立保持取值类型的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，偏序集上正的上取值的对数仍为上取值？
• RQ2 在何种条件下，偏序集上正的下取值的对数必然生成下取值或上取值？
• RQ3 Jiang-Conrath距离公式 $ \text{dist}_{JC}(x,y) = \mathcal{I}(x) + \mathcal{I}(y) - 2\mathcal{I}^{+}(x,y) $ 在一般偏序集上是否构成有效度量？
• RQ4 偏序集需满足何种结构条件，才能使Jiang-Conrath公式定义为度量？
• RQ5 在对数变换与度量构造的背景下，保序与反序取值之间有何关系？

主要发现

• 严格正的保序或反序上取值的对数仍为上取值，保持取值结构。
• 严格正的保序下取值的对数不一定是下取值或上取值，已在布尔格 $ M_2 $ 上通过反例证明。
• 当 $ u $ 为上取值时，变换 $ L(x) = \log(K \cdot u(x) + A) $ 对任意 $ K > 0 $ 及 $ A > -\min_{x} K \cdot u(x) $ 均生成上取值。
• 当下取值 $ v $ 满足 $ K < 0 $ 且 $ A > \max_{x} |K| \cdot v(x) $ 时，变换 $ L'(x) = -\log(K \cdot v(x) + A) $ 生成下取值。
• Jiang-Conrath距离公式在一般偏序集上不构成度量，因其可能违反三角不等式。
• Jiang-Conrath距离公式构成有效度量当且仅当偏序集为树，此为度量性的充分条件。