[论文解读] Van der Waerden Conjecture for Mixed Discriminants

Leonid Gurvits|ArXiv.org|Jun 21, 2004

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文证明了 R. Bapat 于 1989 年提出的猜想：任意一个 $ n $ 重的 $ n\times n $ 正半定厄米特矩阵的混合判别式，其下界为 $\frac{n!}{n^n}$，且当且仅当该 $ n $ 重为 $\left(\frac{1}{n}I,\dots,\frac{1}{n}I\right)$ 时取等。证明过程运用了凸优化、矩阵分析以及双曲多项式工具，将范德瓦尔登猜想（关于永久行列式）推广至更广泛的混合判别式框架。

ABSTRACT

We prove that the mixed discriminant of doubly stochastic $n$-tuples of semidefinite hermitian $n imes n$ matrices is bounded below by $\frac{n!}{n^{n}}$ and that this bound is uniquely attained at the $n$-tuple $(\frac{1}{n} I,...,\frac{1}{n} I)$. This result settles a conjecture posed by R. Bapat in 1989. We consider various generalizations and applications of this result.

研究动机与目标

• 解决 R. Bapat 于 1989 年提出的关于双随机 $ n $-元组正半定厄米特矩阵混合判别式最小值的猜想。
• 在矩阵迹归一化与和为单位矩阵的约束下，建立混合判别式的下界 $\frac{n!}{n^n}$。
• 将范德瓦尔登猜想（关于永久行列式）推广至半正定矩阵背景下混合判别式的框架。
• 通过分块矩阵与可分性关系，探索混合判别式、双曲多项式与量子信息理论之间的联系。

提出的方法

• 利用混合判别式的定义：即矩阵线性组合的行列式的 $ n $ 阶混合偏导数：$ D(A_1,\dots,A_n) = \frac{\partial^n}{\partial t_1\cdots\partial t_n} \det(\sum t_i A_i) $。
• 应用在半正定约束下局部极小值的必要条件，将厄米特矩阵空间视为带有内积 $ \langle A,B \rangle = \operatorname{tr}(AB) $ 的实内积空间。
• 采用混合判别式的张量积表示：$ D(A_1,\dots,A_n) = \langle (A_1 \otimes \cdots \otimes A_n)V, V \rangle $，其中 $ V $ 是与排列相关的特定 $ n^n $-维向量。
• 利用混合判别式在每个参数上均为线性且当所有矩阵为正半定时非负的性质，若对所有子集满足秩条件 $ \operatorname{rank}(\sum_{j=1}^k A_{i_j}) \geq k $，则严格为正。
• 通过混合判别式结构及其正性性质，隐含地应用了亚历山大罗夫-芬赫尔不等式。
• 通过定义 $ M_p({\bf X}) $ 为双曲多项式 $ p $ 的 $ n $ 阶混合导数，将结果推广至双曲多项式，且推测对于 $ e $-双随机 $ n $-元组，下界为 $ p(e) \frac{n!}{n^n} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在所有满足 $ \operatorname{tr}(A_i) = 1 $ 且 $ \sum A_i = I $ 的正半定厄米特矩阵 $ n $-元组中，混合判别式 $ D(A_1,\dots,A_n) $ 的下确界是多少？
• RQ2 该下确界 $ \frac{n!}{n^n} $ 是否唯一在 $ n $-元组 $ \left(\frac{1}{n}I,\dots,\frac{1}{n}I\right) $ 处取得？
• RQ3 范德瓦尔登猜想（关于永久行列式）能否推广至半正定矩阵的混合判别式框架？
• RQ4 在可分或双随机分块矩阵中，$ 4 $-维帕斯卡行列式（或 $ QP(\rho) $）的最小值是多少？
• RQ5 对于任意 $ e $-双曲多项式 $ p $，在 $ e $-双随机 $ n $-元组向量 $ {\bf X} $ 上，$ p $-混合值 $ M_p({\bf X}) $ 的最小值是否等于 $ p(e) \frac{n!}{n^n} $？

主要发现

• 任意一个 $ n \times n $ 正半定厄米特矩阵的双随机 $ n $-元组的混合判别式，其下界为 $ \frac{n!}{n^n} $，且当且仅当所有矩阵均为 $ \frac{1}{n}I $ 时取等。
• 下界 $ \frac{n!}{n^n} $ 唯一支持于 $ n $-元组 $ \left(\frac{1}{n}I,\dots,\frac{1}{n}I\right) $，从而在复厄米特情形下证实了 Bapat 的猜想。
• 该结果推广了范德瓦尔登猜想，因为双随机矩阵的永久行列式是混合判别式的一个特例。
• 当 $ n \geq 3 $ 时，所有双随机 $ n\times n $ 分块矩阵 $ \rho $ 的 $ QP(\rho) $ 最小值为零，但其在可分矩阵中的最小值严格为正。
• 对于 $ n=2 $，猜想 $ \min_{\rho \in \mathrm{Se}D_n} QP(\rho) = \frac{n!}{n^n} $ 成立，且等式为 $ \frac{1}{2} $，并作为一般性猜想提出。
• 本文推测：对任意 $ e $-双曲多项式 $ p $，在 $ e $-双随机 $ n $-元组 $ {\bf X} $ 上，$ p $-混合值 $ M_p({\bf X}) $ 的最小值为 $ p(e) \frac{n!}{n^n} $。