[论文解读] Variation of Bergman kernels of adjoint line bundles

Hajime Tsuji|ArXiv.org|Nov 14, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 14被引用 10

一句话总结

该论文将Berndtsson关于Bergman核的拟凸性结果推广至复流形族中的伴随线丛。通过利用Bergman核的逆构造$ K_{X/S} + L $上的奇异Hermitian度量$ h_B $，作者证明了$ h_B $具有非负曲率电流，从而将结果扩展至非平凡纤维化，并为Kawamata的直接像相对canonical丛的半正性定理提供了新证明。

ABSTRACT

Generalizing the recent result of Berndtsson, we prove the Nakano semipositivity of the direct image of relative pluricanonical systems and the direct image of relative adjoint (singular) hermitian line bundle with semipositive curvature. This gives a new proof of Kawamata's theorem on the semipositivity of the direct image of relative pluricanonical systems.

研究动机与目标

• 将Berndtsson关于Bergman核拟凸性变化的结果推广至光滑射影族中的伴随线丛。
• 建立由Bergman核$ K_s $的逆定义的$ K_{X/S} + L $上的奇异Hermitian度量$ h_B $的半正性。
• 利用$ h_B $的曲率性质，为Kawamata关于相对canonical丛直接像的半正性定理提供新证明。
• 通过动力方法构造一般型流形上canonical丛的典范解析Zariski分解（AZD）。

提出的方法

• 将Bergman核$ K(X, K_X + L, h) $定义为在奇异Hermitian度量$ h $下，$ K_X + L $的$ L^2 $-全纯截面在每点的范数上确界。
• 通过设定$ h_B|_{X_s} := K_s^{-1} $，在$ K_{X/S} + L $上构造一个奇异Hermitian度量$ h_B $，其中$ K_s $是纤维$ X_s $上的Bergman核。
• 使用加厚构造将非平凡族$ f: X o S $嵌入到乘积族$ X imes riangle $中，从而能够将Berndtsson定理应用于强拟凸域。
• 应用$ L^2 $-延拓定理和解析Zariski分解技术，以控制度量$ h_B $的奇点和曲率。
• 通过Bergman核的$ m $次幂的极限动态构造AZD，从而在一般型代数簇的canonical丛上得到典范度量。
• 利用$ h_B $的半正性，推导出直接像丛$ f_* ext{End}(mK_{X/S}) $的函子性、Nakano半正度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 伴随丛$ K_{X_s} + L|_{X_s} $的Bergman核是否以某种方式变化，从而在全空间$ X $上诱导出具有非负曲率的奇异Hermitian度量？
• RQ2 在一般纤维化下，当族非局部平凡时，能否证明由$ h_B|_{X_s} = K_s^{-1} $定义的度量$ h_B $的曲率具有半正性？
• RQ3 该曲率结果能否用于重新证明Kawamata关于相对canonical丛直接像的半正性定理？
• RQ4 能否在不依赖辅助ample线丛的情况下，为一般型流形上的canonical丛构造典范解析Zariski分解（AZD）？
• RQ5 能否使直接像丛上的结果度量关于双有理模态映射具有函子性？

主要发现

• 由$ h_B|_{X_s} = K_s^{-1} $定义的$ K_{X/S} + L $上的奇异Hermitian度量$ h_B $在$ X $上具有非负曲率电流，将Berndtsson的结果推广至伴随线丛。
• 通过加厚和缩放构造$ h_B $，使得Berndtsson的$ L^2 $-延拓与拟凸性定理可应用于非乘积族。
• $ h_B $的半正性为$ f_* ext{End}(K_{X/S} + L) $的Kawamata半正性定理提供了新证明，尤其适用于$ f_* ext{End}(K_{X/S}) $的情形。
• 对于一般型流形，可通过Narashimhan-Simha度量的$ m $次幂的极限构造$ K_{X/S} $的典范AZD，且不依赖于辅助ample除子。
• 在$ f_* ext{End}(mK_{X/S}) $上得到的度量关于双有理模态映射是函子性的，仅依赖于纤维的双有理等价类。
• $ mK_X $上的Narashimhan-Simha度量$ h^{NS}_m $的半正性已确立，其曲率$ heta_{h^{NS}_m} = \frac{\text{dd}^c}{\text{d}^c} \text{log} K^{NS}_m $为闭的正电流。