[论文解读] Variational characterizations of weighted eigenvalue and basic reproduction rate for nonlocal dispersal systems and application

Xiandong Lin, Jiazhuo Cheng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2026

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models被引用 0

一句话总结

该论文为非局部扩散算子开发了光谱界和加权特征值的变分表征；包括在没有主特征值的情况下的情形，并将该框架应用于带饱和发病率的非局部SIS模型以推导基本繁殖数。

ABSTRACT

The basic reproduction rate is a crucial threshold parameter in infectious disease models. In nonlocal dispersal systems, its variational characterization is challenging due to the possible absence of a principal eigenvalue caused by non-compactness. In this paper, we aim to establish such a characterization even when the principal eigenvalue does not exist. To this end, we first study the spectral bound of a class of nonlocal dispersal operators, establishing a Collatz-Wielandt characterization as well as a Rayleigh-Ritz characterization when the operator is self-adjoint. Using this, we characterize the unique parameter value at which the spectral bound equals zero, covering both non-degenerate and partially degenerate cases, and subsequently obtain an explicit expression for the basic reproduction rate. To demonstrate the utility of our theoretical framework, we apply it to a nonlocal dispersal SIS epidemic model with saturated incidence rate. The analysis shows that, in the degenerate case of the saturation coefficient, the limiting behavior of the basic reproduction rate as the total population tends to zero is strikingly different from that in local diffusion case.

研究动机与目标

• 在非局部扩散模型中需要一个变分框架来表征基本繁殖数，尤其当主特征值可能不存在时的动机。
• 在较弱不可约性条件下，为非局部算子导出Collatz–Wielandt与Rayleigh–Ritz类型的光谱界表征。
• 在非退化和部分退化的情形下，表征使光谱界为零的唯一参数值（加权特征值）。
• 将理论应用于带饱和发病率的非局部SIS流行病模型，以分析基本繁殖数的渐近行为。

提出的方法

• 定义一族具有结构 L_mu 的非局部扩散算子，其结构包括扩散样耦合 D[Jφ]、协作矩阵 M(x) 以及 1/mu F(x) 项。
• 在弱不可约性（M）下建立光谱界 s(L) 的 Collatz–Wielandt 式表征。
• 证明 s(L_C) = s(L_L2)，并用此将广义特征值与光谱界联系起来。
• 在自伴性情形下推导 s(L) 的 Rayleigh–Ritz 表征，涉及二次型的表达。
• 在合适条件下证明存在且唯一的 mu_0 > 0 使 s(L_mu0) = 0，并给出 mu_0 的变分表达式。
• 将结果扩展到通过更强不可约性假设的部分退化情形，并获得相应的变分表征。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非局部扩散算子的光谱界 s(L_mu) 能获得 Collatz–Wielandt 的表征？
• RQ2 当算子自伴且没有主特征值时，能否获得光谱界的变分（Rayleigh–Ritz）表征？
• RQ3 在非局部扩散系统中，唯一的 mu_0 使 s(L_mu0) = 0（加权特征值）的显式变分表达式是什么？
• RQ4 退化（部分退化）扩散系数如何影响变分表征与基本繁殖数？
• RQ5 带饱和发病率的非局部SIS模型如何体现基本繁殖数在退化条件下的适用性与行为？

主要发现

• 在假设 (M) 下，光谱界 s(L) 等于广义的 Collatz–Wielandt 量。
• 当 L 是自伴时，s(L) 具有关于 D、J、M 的二次型的 Rayleigh–Ritz 表征。
• 若且仅若 s(L_infty) < 0，则存在唯一的 mu_0 > 0 使 s(L_mu0) = 0，且 mu_0 具有显式的变分表示（两种对偶形式）。
• 得到了基本繁殖数的变分表征，涉及对正测试函数的上确界与对空间指标的下确界。
• 在带饱和发病率的非局部SIS模型中，基本繁殖数的 Collatz–Wielandt 与 Rayleigh–Ritz 表征成立，且退化饱和导致的极限行为与局部扩散显著不同。