[论文解读] Variational-Correlations Approach to Quantum Many-body Problems

Arbel Haim, Richard Kueng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2020

Advanced Chemical Physics Studies被引用 6

一句话总结

本文提出了变分相关性（Variational-Correlations, VC）方法，通过将关联函数作为变分参数来近似量子多体系统的基态。通过按顺序强制密度矩阵的正定性，利用与系统尺寸线性相关的关联矩阵，该方法提供了基态能量的下界，并成功捕捉了长程关联，在一维自旋-1/2模型中实现了能量估计的收敛。

ABSTRACT

We investigate an approach for studying the ground state of a quantum many-body Hamiltonian that is based on treating the correlation functions as variational parameters. In this approach, the challenge set by the exponentially-large Hilbert space is circumvented by approximating the positivity of the density matrix, order-by-order, in a way that keeps track of a limited set of correlation functions. In particular, the density-matrix description is replaced by a correlation matrix whose dimension is kept linear in system size, to all orders of the approximation. Unlike the conventional variational principle which provides an upper bound on the ground-state energy, in this approach one obtains a lower bound instead. By treating several one-dimensional spin $1/2$ Hamiltonians, we demonstrate the ability of this approach to produce long-range correlations, and a ground-state energy that converges to the exact result. Possible extensions, including to higher-excited states are discussed.

研究动机与目标

• 通过聚焦于有限组关联函数作为变分参数，解决全量子多体波函数的指数复杂性。
• 通过利用与系统尺寸线性相关的关联矩阵近似密度矩阵的正定性，规避希尔伯特空间爆炸问题。
• 提供基态能量的下界，与传统变分方法给出的上界形成对比。
• 通过按顺序近似关联约束，实现在大系统中的高效计算，包括非平移不变和无序模型。
• 在1D自旋-1/2链中，展示能量收敛至精确基态能量并准确捕捉长程自旋关联。

提出的方法

• 该方法用关联矩阵替代全密度矩阵，其元素为局域算符期望值，与系统尺寸线性缩放。
• 通过要求部分k-局部算符的某些关联矩阵保持半正定，强制近似密度矩阵的正定性。
• 能量最小化被表述为半定规划（SDP），目标函数为哈密顿量的期望值。
• 关联矩阵由两点及更高阶关联函数构成，约束来自泡利矩阵相关的算子代数恒等式。
• 采用内点法进行凸优化，通过CVX和MOSEK实现SDP的数值求解。
• 在数值实现中利用平移对称性以减少独立参数数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅基于关联函数的变分方法能否为量子多体系统的基态能量提供下界？
• RQ2 在不存储全波函数的情况下，该方法在多大程度上能准确捕捉长程量子关联？
• RQ3 随着更多关联函数被纳入近似，该方法在多大程度上收敛至精确基态能量？
• RQ4 该方法能否高效应用于无平移对称性或具有无序性的系统？
• RQ5 选择不同k-局部算符子集以强制近似密度矩阵正定性会产生何种影响？

主要发现

• VC方法成功生成了基态能量的下界，随着更高阶关联的引入，能量估计逐渐收敛至精确值。
• 在一维自旋-1/2链中，该方法即使在无序系统中也能准确捕捉长程自旋关联。
• 对横场伊辛链和XXZ链等模型的数值结果表明，能量估计随近似阶数增加而单调收敛至精确基态能量。
• 关联矩阵形式的尺度与系统尺寸线性相关，使得该方法能高效处理精确对角化难以处理的大系统。
• 在缺乏平移对称性的情况下，该方法依然稳健，通过无序哈密顿量的数值求解得到验证。
• 利用半定规划使得通过引入更高阶关联约束系统性地改进近似成为可能。