[论文解读] Variations on the Sensitivity Conjecture

Pooya Hatami, Raghav Kulkarni+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 7

一句话总结

本文研究了敏感性猜想的变体，该猜想提出所有布尔函数的块敏感性均被敏感性多项式有界。论文提出了新的表述形式，证明了该猜想蕴含复杂度度量之间的多项式关系，并构造了在敏感性和块敏感性上达到紧致界限的布尔函数，包括Rubinstein和Chakraborty的函数。

ABSTRACT

We present a selection of known as well as new variants of the Sensitivity Conjecture and point out some weaker versions that are also open.

研究动机与目标

• 探索并形式化敏感性猜想的更弱及等价表述。
• 研究布尔函数中块敏感性与敏感性之间的多项式关系。
• 分析已知及新的布尔函数示例，这些函数在敏感性和块敏感性上达到极值。
• 阐明证书复杂度、决策树复杂度和度等复杂度度量与该猜想的关系。
• 全面概述开放问题及解决敏感性猜想的进展。

提出的方法

• 引入块敏感性的概念，并通过Nisan的刻画将其与CREW PRAM复杂度联系起来。
• 使用格雷码构造方法，将敏感块映射到着色超立方体，将导出函数的敏感性与原函数的块敏感性联系起来。
• 应用多项式方法和傅里叶分析，分析复合函数的度和敏感性。
• 分析特定布尔函数，如Rubinstein函数、OR-of-ANDs函数，以及Kushilevitz和Chakraborty的构造，以建立紧致界限。
• 通过 $ f \diamond g $ 的函数复合构建具有受控敏感性和块敏感性特性的函数。
• 证明：若一个函数具有低敏感性和高块敏感性，则其块敏感性在敏感性上多项式有界，前提是该猜想成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 目前已知的敏感性猜想最弱的表述形式中，哪些仍为开放问题？
• RQ2 布尔函数的块敏感性能否被其敏感性的多项式所界定？
• RQ3 对于显式布尔函数，块敏感性相对于敏感性的最紧致下界和上界是什么？
• RQ4 证书复杂度、决策树复杂度和度等复杂度度量如何与敏感性和块敏感性相关？
• RQ5 函数复合能否用于构建在敏感性和块敏感性比率上达到极值的布尔函数？

主要发现

• 敏感性猜想意味着块敏感性被敏感性多项式有界，这将统一广泛的一系列复杂度度量。
• Rubinstein函数在 $ k^2 $ 个变量上实现块敏感性 $ \Theta(k^2) $ 和敏感性 $ \Theta(k) $，显示出二次差距。
• 在 $ k^2 $ 个变量上的AND-of-ORs函数具有敏感性和块敏感性均为 $ k $，展示了紧致情形。
• Chakraborty函数在 $ n = k^3 $ 个变量上实现敏感性 $ \Theta(n^{1/3}) $ 和块敏感性 $ \Theta(n^{2/3}) $，显示出超线性差距。
• Kushilevitz函数由6个变量上的3次函数复合 $ k $ 次构成，实现度 $ 3^k = n^{\log_6 3} $，具有完全敏感性和块敏感性。
• 本文证明：若一个在 $ b $ 个变量上的函数 $ C $ 的敏感性至多为 $ 2s(f) $，则 $ bs(f) \leq \operatorname{poly}(s(C)) $，将该猜想与超立方体上的着色论证联系起来。