[论文解读] Vector bundles on curves and generalized theta functions: recent results and open problems

Arnaud Beauville|ArXiv.org|Apr 5, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 75

一句话总结

本文探讨了在代数曲线稳定向量丛模空间上，广义 theta 函数作为行列式线丛的全局截面，建立了雅可比簇上经典 theta 函数的非交换类比。证明了模空间 $\mathcal{SU}_X(r)$ 的 Picard 群由典范行列式线丛 $\mathcal{L}$ 生成，并构造了 $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L})$ 与 $H^0(J^{g-1}(X), \mathcal{O}(r\Theta))$ 的对偶之间的同构，将向量丛的几何与共形场论及模表示联系起来。

ABSTRACT

Riemann surface carries a natural line bundle, the determinant bundle. The space of sections of this line bundle (or its multiples) constitutes a natural non-abelian generalization of the spaces of theta functions on the Jacobian. There has been much progress in the last few years towards a better understanding of these spaces, including a rigorous proof of the celebrated Verlinde formula which gives their dimension. This survey paper tries to explain what is now known and what remains open.

研究动机与目标

• 通过向量丛模空间上的行列式线丛，建立雅可比簇上经典 theta 函数的非交换类比。
• 研究曲面 $X$（亏格 $g \geq 2$）上秩为 $r$ 且行列式平凡的稳定向量丛模空间 $\mathcal{SU}_X(r)$ 的几何结构。
• 理解行列式线丛 $\mathcal{L}$ 的全局截面空间结构，将其解释为广义 theta 函数。
• 探索这些截面与共形场论之间的联系，特别是通过映射类群 $\Gamma_g$ 的射影表示。

提出的方法

• 在 $\mathcal{SU}_X(r)$ 上使用行列式线丛 $\mathcal{L} = \mathcal{O}(\Theta_L)$，其中 $\Theta_L$ 是由 $h^0(E \otimes L) \geq 1$（$L \in J^{g-1}(X)$）定义的广义 theta 除子。
• 证明 $\operatorname{Pic}(\mathcal{SU}_X(r)) = \mathbb{Z} \cdot \mathcal{L}$，表明 $\mathcal{L}$ 是 Picard 群的生成元。
• 建立一个典范同构 $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L}) \cong H^0(J^{g-1}(X), \mathcal{O}(r\Theta))^*$，将截面与经典 theta 函数联系起来。
• 通过 $\theta(E) = \{ L \in J^{g-1}(X) \mid h^0(E \otimes L) \geq 1 \}$ 构造一个有理映射 $\theta: \mathcal{SU}_X(r) \dashrightarrow |r\Theta|$，将模空间与雅可比簇联系起来。
• 利用模堆栈的双重商描述 $SL_r(A_X) \backslash SL_r(\mathbb{C}((z))) / SL_r(\mathbb{C}[[z]])$，将 $\mathcal{L}^k$ 的截面研究为环路群上的函数。
• 通过 $\pi_1(X)$ 的表示将构造方法推广至 $SL_r(\mathbb{C})^g$，并与共形场论中的 $\tau$-函数建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 空间 $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L})$ 的结构是什么？它与雅可比簇上阶为 $r$ 的经典 theta 函数有何关系？
• RQ2 映射类群 $\Gamma_g$ 在 $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L}^k)$ 上的表示 $\rho_{r,k}: \Gamma_g \to PGL(H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L}^k))$ 是否可显式描述？它是否可分解为 $\mathrm{Sp}(2g, \mathbb{Z})$？
• RQ3 是否存在广义 theta 函数的全纯函数论描述，类似于经典 theta 函数作为准周期函数的理论？
• RQ4 射影表示 $\rho_{r,k}$ 是否存在一个平坦的 Hermitian 度量使其成为酉表示，如共形场论所预测？
• RQ5 能否将 $\mathcal{L}^k$ 的截面表达为自然群论空间（如 $\widetilde{SL_r(\mathbb{C}((z)))}$）上的全纯函数？

主要发现

• 模空间 $\mathcal{SU}_X(r)$ 的 Picard 群同构于 $\mathbb{Z}$，由行列式线丛 $\mathcal{L}$ 生成，即 $\operatorname{Pic}(\mathcal{SU}_X(r)) = \mathbb{Z} \cdot \mathcal{L}$。
• 存在一个典范同构 $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L}) \cong H^0(J^{g-1}(X), \mathcal{O}(r\Theta))^*$，表明一级广义 theta 函数空间与阶为 $r$ 的经典 theta 函数空间对偶。
• 有理映射 $\theta: \mathcal{SU}_X(r) \dashrightarrow |r\Theta|$ 将一个丛 $E$ 映射到满足 $h^0(E \otimes L) \geq 1$ 的线丛 $L$ 的除子，该映射是通用定义且有限的。
• 当 $k=1$ 时，映射类群 $\Gamma_g$ 在 $H^0(\mathcal{SU}_X(r), \mathcal{L})$ 上的表示 $\rho_{r,1}$ 通过与经典 theta 函数对偶空间的同构来描述，推广了经典变换公式。
• $\mathcal{L}$ 拉回到环路群 $\widetilde{SL_r(\mathbb{C}((z)))}$ 上是平凡的，提示广义 theta 函数可能可实现为该群上的函数，尽管更高 $k$ 的显式表达式仍不明确。
• 尽管已有进展，但广义 theta 函数作为自然定义域上全纯函数的完全令人满意的解析或函数论描述仍是开放问题。