[论文解读] Vector invariants of a class of pseudo-reflection groups and multisymmetric syzygies

M. Domokos|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2007

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用 9

一句话总结

本文通过多重对称多项式导出的生成元与关系，为一类伪反射群（包括 $B_n$ 型 Weyl 群和对称群）的多项式不变量代数提供了有限表示。利用 Derksen 的关系次数界与 Wallach-Garsia 的技巧，本文建立了第一、第二基本定理，证明了不变交换概形的约化性，并给出了多重对称多项式的一个特征无关的无限表示，从而填补了文献中长期存在的空白。

ABSTRACT

First and second fundamental theorems are given for polynomial invariants of a class of pseudo-reflection groups (including the Weyl groups of type $B_n$), under the assumption that the order of the group is invertible in the base field. Special case of the result is a finite presentation of the algebra of multisymmetric polynomials. Reducedness of the invariant commuting scheme is proved as a by-product. The algebra of multisymmetric polynomials over an arbitrary base ring is revisited.

研究动机与目标

• 为一类伪反射群（包括 $B_n$ 型 Weyl 群和对称群）的多项式不变量建立第一、第二基本定理。
• 以生成元与关系的形式，为代数 $K[V^m]^{G(n,q)}$ 提供有限表示，推广多重对称多项式理论。
• 作为副产品，证明不变交换概形的约化性，拓展表示论与代数几何中的结果。
• 重新审视并强化在任意基环上的多重对称多项式理论，提出一种新的、与特征无关的无限表示。

提出的方法

• 作者在坐标环 $K[V^m]$ 上采用多分次结构，保持群 $G(n,q)$（即 $C_q$ 与 $S_n$ 的裂积）的作用不变。
• 他们为 $\mathcal{M}(q)$ 中的单项式 $w$ 定义极化算子 $[w]$，通过类似迹的构造方式生成 $G$-不变多项式。
• 该方法应用 Derksen 的关系次数界，并借鉴 Wallach 与 Garsia 的思想，构造出不变环的有限生成集与关系。
• 关键构造涉及 $S_n$ 作用下单项式的轨道和，从而得到 $K[V^m]^G$ 的一个基，其指标为 $\mathcal{M}(q)$ 中单项式的多重集。
• 当 $q=1$ 时，该构造给出多重对称函数代数的新且清晰的有限表示。
• 本文通过定理 5.5 将结果推广至任意基环，给出多重对称多项式环的新特征无关无限表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 群 $G(n,q)$（即 $C_q$ 与 $S_n$ 的裂积）的多项式不变量代数是否存在有限表示？
• RQ2 如何显式描述 $K[V^m]^{G(n,q)}$ 生成元之间的关系（即关系式），特别是当 $q > 1$ 时？
• RQ3 与 $GL(n,\mathbb{C})$-不变量相关的不变交换概形是否仍为约化形式？能否通过 $G(n,q)$ 的不变量理论证明这一点？
• RQ4 能否构造一个与基域无关的、特征无关的多重对称多项式环的表示？

主要发现

• 代数 $K[V^m]^{G(n,q)}$ 允许有限表示，其生成元为 $w \in \mathcal{M}(q)$ 的 $[w]$，关系由迹恒等式导出，如定理 3.2 所示。
• 当 $q=1$ 时，该构造给出多重对称函数代数的有限表示，解决了以往文献中在一般特征下缺乏此类表示的空白。
• 与 $GL(n,\mathbb{C})$-不变量相关的不变交换概形是约化的，作为不变环基本关系的推论，该结论在定理 4.1 中得到证明。
• 计算得到 $K[V^2]^{S_3}$ 的 Hilbert 系数为 $H = \frac{1 + t_1t_2 + t_1^2t_2 + t_1t_2^2 + t_1^2t_2^2 + t_1^3t_2^3}{(1-t_1)(1-t_1^2)(1-t_1^3)(1-t_2)(1-t_2^2)(1-t_2^3)}$，确认其在初等对称函数多项式环上自由。
• $K[V^2]^{S_3}$ 生成元间的关系理想由 5 条关系最小生成，其双次数分别为 $(3,2), (2,3), (4,2), (2,4), (3,3)$，均由基本恒等式 $\Psi_4 = 0$ 导出。
• 在任意基环上，定理 5.5 给出了多重对称多项式环的新特征无关无限表示，强化了在无域假设下已知的结果。