[论文解读] Vertex Isoperimetric Inequalities for a Family of Graphs on Z^k

Ellen Veomett, A. J. Radcliffe|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Graph theory and applications参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文建立了在 ℤ^k 上、边连接 ℓ∞-距离为 1 的顶点的图的最优顶点等周不等式，证明了在特定良好序下，初始段最小化顶点边界。通过一种新颖的压缩与中心化技术，计算了这些集合的边界，并表明最小边界集合是嵌套的，将经典等周结果推广至这一 ℓ∞-基图族。

ABSTRACT

We consider the family of graphs whose vertex set is Z^k where two vertices are connected by an edge when their l\infty-distance is 1. We prove the optimal vertex isoperimetric inequality for this family of graphs. That is, given a positive integer n, we find a set A \subset Z^k of size n such that the number of vertices who share an edge with some vertex in A is minimized. These sets of minimal boundary are nested, and the proof uses the technique of compression. We also show a method of calculating the vertex boundary for certain subsets in this family of graphs. This calculation and the isoperimetric inequality allow us to indirectly find the sets which minimize the function calculating the boundary.

研究动机与目标

• 建立在 ℤ^k 上的图的顶点等周不等式，其中边连接 ℓ∞-距离为 1 的顶点。
• 识别在 ℤ^k 中大小为 n 的集合中，使顶点边界（相邻顶点数）最小的结构。
• 为该图族中子集的顶点边界开发一种计算方法。
• 证明达到最小边界的集合是嵌套的，类似于 Harper 定理与 Bollobás–Leader 的结果。

提出的方法

• 通过归纳法在 ℤ^k 上定义一个良好序 ≺，从 ℤ^1 开始：0 ≺ 1 ≺ -1 ≺ 2 ≺ -2 ≺ …
• 使用一种保持或减少边界大小的压缩变体，并结合‘摇动’过程以达到最小边界集合。
• 引入‘中心化’集合的概念，即通过将每个坐标压缩向零以最小化边界。
• 推导出 ℤ^k 中子集 X 的顶点边界的公式：f(X) = ∑_{I⊆{1,…,k}} 2^{|I|} |P_I(X)|，其中 P_I(X) 是 X 在 I 中坐标上的投影。
• 证明当 X 是良好序 ≺ 下的初始段时，边界函数 f(X) 达到最小值。
• 通过归纳法与角点分析，计算添加一个点时边界的增加量，表明当 z 为角点时，|∂S| = |∂(S∖{z})| + 3^{|Z_K|}2^{|Z_D|}。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 ℤ^k 上的 ℓ∞-图中，大小为 n 的子集的顶点边界最小可能大小是多少？
• RQ2 达到最小顶点边界的集合是否嵌套，即在某种良好序下为初始段？
• RQ3 能否使用基于投影的公式高效计算该图中子集的顶点边界？
• RQ4 经典等周问题中使用的压缩技术是否可推广至这一 ℓ∞-基图族？
• RQ5 边界计算能否推广至具有类似对称性的其他图？

主要发现

• 最优顶点等周不等式成立：对任意 n，良好序 ≺ 下大小为 n 的初始段最小化顶点边界。
• 最小边界集合是嵌套的，即大小为 n 时达到最小边界的集合包含于大小为 n+1 时的集合中。
• ℤ^k 中子集 X 的顶点边界由 f(X) = ∑_{I⊆{1,…,k}} 2^{|I|} |P_I(X)| 给出，该公式可对中心化集合进行精确计算。
• 对于具有角点 z 的有限压缩集合 S，当添加 z 时，边界增加 3^{|Z_K|}2^{|Z_D|}，其中 Z_K 和 Z_D 分别为 z 在前 k 个与后 d 个坐标上的零坐标。
• 在 ℤ^k 的所有 n 元子集中，f(X) 的最小值恰好在良好序 ≺ 下的初始段处取得，从而证明了最优性。
• 该方法可推广至 ℕ^k，其中边界函数 f(Y) = ∑_{I⊆{1,…,k}} |P_I(Y)| 在诱导良好序下的初始段处取得最小值。