[论文解读] Virtual Control Contraction Metrics: Convex Nonlinear Feedback Design via Behavioral Embedding

Ruigang Wang, Roland Tóth+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2020

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 36被引用 9

一句话总结

本文提出虚拟控制收缩度量（VCCM），一种凸非线性反馈设计方法，可确保用户定义参考轨迹的全局指数稳定性和 $\mathcal{L}_2$-增益性能。通过将非线性动力学嵌入虚拟系统并利用状态依赖的收缩度量，该方法实现了基于凸优化的控制综合，具有严格的稳定性保证，统一了局部与全局LPV控制方法，同时克服了标准LPV实现中的不稳定风险。

ABSTRACT

This paper presents a systematic approach to nonlinear state-feedback control design that has three main advantages: (i) it ensures exponential stability and $ \mathcal{L}_2 $-gain performance with respect to a user-defined set of reference trajectories, and (ii) it provides constructive conditions based on convex optimization and a path-integral-based control realization, and (iii) it is less restrictive than previous similar approaches. In the proposed approach, first a virtual representation of the nonlinear dynamics is constructed for which a behavioral (parameter-varying) embedding is generated. Then, by introducing a virtual control contraction metric, a convex control synthesis formulation is derived. Finally, a control realization with a virtual reference generator is computed, which is guaranteed to achieve exponential stability and $ \mathcal{L}_2 $-gain performance for all trajectories of the targeted reference behavior. We show that the proposed methodology is a unified generalization of the two distinct categories of linear-parameter-varying (LPV) state-feedback control approaches: global and local methods. Moreover, it provides rigorous stability and performance guarantees as a method for nonlinear tracking control, while such properties are not guaranteed for tracking control using standard LPV approaches.

研究动机与目标

• 解决标准LPV控制在非线性跟踪问题中缺乏稳定性与性能保证的问题。
• 将控制收缩度量（CCM）理论推广至目标特定轨迹族，超越普遍稳定化的范围。
• 在单一凸优化框架下统一局部与全局LPV控制方法。
• 提供一种基于路径积分的构造性控制实现，确保指数稳定性和 $\mathcal{L}_2$-增益性能。
• 克服传统LPV增益调度中因动力学与参数变化之间隐藏耦合而导致的不稳定风险。

提出的方法

• 使用行为（参数可变）嵌入方法构建非线性系统的虚拟表示。
• 定义虚拟控制收缩度量（VCCM），以对用户定义的参考集 $\mathcal{B}^*$ 实现指数稳定性和 $\mathcal{L}_2$-增益性能。
• 通过VCCM上的状态依赖线性矩阵不等式（LMIs）推导出凸控制综合公式。
• 设计一个虚拟参考生成器和前馈控制律，以补偿轨迹相关动力学偏差。
• 实现一种基于路径积分的控制实现，确保 $\mathcal{B}^*$ 中所有轨迹的稳定性与性能。
• 强制执行条件C2，以确保虚拟控制器正确稳定目标设定点，避免因参数变化不匹配导致的不稳定。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种凸非线性反馈设计，以保证用户定义的参考轨迹族的指数稳定性和 $\mathcal{L}_2$-增益性能？
• RQ2 如何将控制收缩度量理论扩展至弱稳定化问题，例如针对特定轨迹族的跟踪，而非所有可能轨迹？
• RQ3 所提出的VCCM框架在何种方式下统一了局部与全局LPV控制方法，同时避免了各自存在的稳定性缺陷？
• RQ4 在应用于非线性跟踪问题时，何种条件可确保基于LPV的控制实现保持稳定性与性能保证？
• RQ5 为何标准LPV实现无法在非零设定点下保持稳定性与性能，以及如何修正此问题？

主要发现

• VCCM方法确保了用户定义参考集 $\mathcal{B}^*$ 中所有轨迹的全局指数稳定性和 $\mathcal{L}_2$-增益性能，即使在标准LPV方法失效时亦成立。
• 该方法通过引入补偿参数变化下动力学失配的前馈项 $\kappa^{\mathrm{ff}}$，克服了全局LPV控制中的不稳定性。
• 示例5表明，标准全局LPV控制在非零设定点下可能导致收敛至错误平衡点或不稳定，而VCCM控制器始终能稳定在期望轨迹上。
• VCCM综合是凸的，可通过半定规划高效求解，适用于非线性系统的控制器设计。
• 该方法推广了局部与全局LPV控制，提供了一个具有更强理论保证的统一框架。
• 理论分析表明，条件C2确保虚拟控制器正确稳定目标设定点，消除了误差动力学中 $\Delta$-项引起的不稳定性。