[論文レビュー] Virtual moduli cycles and Gromov-Witten invariants of general symplectic manifolds

Jun Li, Gang Tian|ArXiv.org|Aug 26, 1996

Geometric and Algebraic Topology参考文献 10被引用数 320

ひとこと要約

本稿は、フリードホルム理論と一般化されたオイラー類を用いて、一般のシンプレクティック多様体における仮想基本サイクルおよびグロモフ＝ウィッテン不変量を構成する厳密な解析的枠組みを確立する。一般化されたフリードホルムバンドルを定義し、ホモトピーに関してオイラー類の不変性を証明することで、著者たちは有理数値のシンプレクティック不変量を構成し、従来の代数的および半正則な構成を、解析的手法により任意のシンプレクティック多様体へと拡張する。

ABSTRACT

We construct Gromov-Witten invariants of general symplectic manifolds.

研究の動機と目的

• 微分幾何におけるモジュライ問題の交差理論を、特にフリードホルム理論を用いた解析的ツールによって開発すること。
• 滑らかでない、またはコンパクトでないゼロ点集合をもつ一般化されたフリードホルムバンドルのオイラー類を定義し構成すること。
• グロモフ＝ウィッテン不変量の構成を、半正則または代数的でない一般のシンプレクティック多様体へと拡張すること。
• 仮想基本サイクルを用いて、シンプレクティックに不変で有理数値をとるグロモフ＝ウィッテン理論を提供すること。

提案手法

• コンパクトなゼロ点集合と弱い滑らかさ構造を持つ位相空間上に一般化されたフリードホルムバンドルを導入する。
• 滑らかな近似とホモトピー不変性を用いて、このようなバンドルの一般化されたオイラー類を定義する。
• シンプレクティック多様体への安定写像のモジュライ空間に理論を適用し、関連バンドルが指数 r のフリードホルムであることを証明する。
• 行列式ラインバンドルと可定向性を用いて、ホモロジーにおけるオイラー類を定義し、仮想基本クラスを表す。
• 安定写像の空間にこの構成を適用し、(0,1)-形式バンドルのゼロ点集合がコンパクトであり、セクションがフリードホルムであることを示す。
• オイラー類がホモトピーに関して不変であることを確立し、グロモフ＝ウィッテン不変量が適切に定義され、シンプレクティックに不変であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何学ではなく解析的手法を用いて、一般のシンプレクティック多様体におけるグロモフ＝ウィッテン不変量を構成できるか？
• RQ2 安定写像のモジュライ空間が滑らかでもコンパクトでもない場合、仮想基本クラスをどのように定義できるか？
• RQ3 微分的カテゴリーにおいて、フリードホルムセクションのオイラー類がホモトピーに関して不変であるための条件は何か？
• RQ4 半正則なシンプレクティック多様体に限らない、すべてのシンプレクティック多様体へとグロモフ＝ウィッテン不変量の構成を拡張できるか？
• RQ5 解析的アプローチは、ドナルドソンやセイバーグ＝ウィッテン不変量のような、代数的またはゲージ理論的構成と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 著者たちは、コンパクトなゼロ点集合と弱い滑らかさ構造を持つ一般化されたフリードホルムバンドルに対して、ホモトピーに関して不変な適切に定義されたオイラー類を構成した。
• このオイラー類を用いて、一般のシンプレクティック多様体に対するグロモフ＝ウィッテン不変量が有理数上で構成され、従来の整数上または代数幾何学における構成を拡張した。
• シンプレクティック多様体への安定写像のモジュライ空間は、(0,1)-形式バンドルにフリードホルム構造を備え、仮想基本クラスの定義を可能にする。
• 固定点集合の外側で滑らかな商空間に還元できることにより、$b_2^+ > 1$ のとき、セイバーグ＝ウィッテン不変量が適切に定義されることを示した。
• フリードホルム指数が負である固定点制限に対して、この構成はホモトピーに関して頑健であり、適切に定義されたコボルディズム類をもたらす。
• この方法は、同様の解析的仮想サイクル技術を用いて、ドナルドソン不変量のようなゲージ理論的不変量を構成する基盤を提供する。