[论文解读] Kuranishi homology and Kuranishi cohomology

Dominic Joyce|ArXiv.org|Jul 24, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 45被引用 28

一句话总结

本文为轨道丛和库兰希空间引入了库兰希同调与上同调理论，建立了其与奇异同调及紧台上同调的同构关系。通过使用规范固定数据确保自同构群有限，从而实现良好定义的（上）同调理论，并构造了新的 bordism 不变量，这些不变量可细化 Gromov–Witten 不变量，并简化拉格朗日子弗上同调。

ABSTRACT

A Kuranishi space is a topological space with a Kuranishi structure, defined by Fukaya and Ono. Kuranishi structures occur naturally on moduli spaces of J-holomorphic curves in symplectic geometry. Let Y be an orbifold and R a commutative ring or Q-algebra. We define two kinds of Kuranishi homology KH_*(Y;R). The chain complex KC_*(Y;R) defining KH_*(Y;R) is spanned over R by [X,f,G], for X a compact oriented Kuranishi space with corners, f : X --> Y smooth, and G "gauge-fixing data" which makes Aut(X,f,G) finite. Our main result is that these are isomorphic to singular homology. We define Poincare dual Kuranishi cohomology, isomorphic to compactly-supported cohomology. We define five kinds of Kuranishi (co)bordism spanned by isomorphism classes[X,f] for X a compact oriented Kuranishi space without boundary and f : X --> Y smooth. They are new topological invariants, and we show they are very large. These theories are powerful new tools in symplectic geometry. Defining virtual cycles and chains for moduli spaces of J-holomorphic curves is trivial in Kuranishi (co)homology. There is no need to perturb moduli spaces, and no problems with transversality. This gives major simplifications in Lagrangian Floer cohomology. We define new Gromov-Witten type invariants in Kuranishi bordism, over Z not Q. We sketch how these may be used to prove the integrality conjecture for Gopakumar-Vafa invariants. This paper is surveyed in arXiv:0710.5634.

研究动机与目标

• 为轨道丛和库兰希空间定义新的同调与上同调理论——库兰希（上）同调及有效库兰希（上）同调。
• 构建五种新的 bordism 理论（库兰希 bordism 与 cobordism），其规模远大于标准（上）同调群。
• 通过库兰希（上）同调提供一个框架，用于细化 Gromov–Witten 不变量并简化拉格朗日子弗上同调。
• 证明库兰希（上）同调群与轨道丛上的经典奇异（上）同调及紧台上同调群同构。
• 建立一种基于规范固定数据的（上）链的新双不变理论，确保良好的交积结构与庞加莱对偶性。

提出的方法

• 通过库兰希结构定义库兰希空间，利用轨道丛与广义角点来建模辛几何中的模空间。
• 引入规范固定数据与共规范固定数据，以控制自同构群，确保其有限性，从而实现良好定义的（上）同调理论。
• 构造（上）链复形 KC∗, KC∗_ec(Y; R)，其由等价类 [X, f, G] 张成，其中 X 是带边界的紧致定向库兰希空间，f: X → Y 是强光滑映射，G 提供规范固定。
• 通过库兰希空间的纤维积与规范固定数据的拉回定义（上）同调上的乘积，确保与交积理论相容。
• 使用帐篷函数与三角剖分技术，将库兰希（上）同调与奇异（上）同调关联，通过逐步提升与形变论证证明同构。
• 应用庞加莱对偶性与定向惯例，关联库兰希理论与经典理论中的上杯积、上帽积与交积。

实验结果

研究问题

• RQ1 库兰希同调与上同调能否以一种方式定义，使其恢复经典奇异同调与紧台上同调？
• RQ2 如何利用规范固定数据确保自同构群有限，并在库兰希空间上实现良好定义的（上）同调理论？
• RQ3 库兰希 bordism 与经典 bordism 之间的关系是什么？这些理论在规模与结构上如何比较？
• RQ4 库兰希（上）同调能否用于定义具有比经典不变量更高信息含量的新 Gromov–Witten 不变量？
• RQ5 如何利用库兰希上同调重新表述拉格朗日子弗上同调，以实现技术上的简化与更优结果？

主要发现

• 对于任意轨道丛 Y 与交换环 R，库兰希同调 KH∗(Y; R) 与有效库兰希同调 KHef∗(Y; R) 同构于奇异同调 Hsi∗(Y; R)。
• 当 Y 为定向时，库兰希上同调 KH∗(Y; R) 与有效库兰希上同调 KH∗_ec(Y; R) 同构于紧台上同调 H∗_cs(Y; R)。
• 库兰希 bordism 群 KB∗(Y; R) 与 KB∗(Y; R) 显著大于经典 bordism 群，因为其由无边界的紧致定向库兰希空间 X 的同构类 [X, f] 张成。
• 库兰希（上）同调中的上杯积、上帽积与交积与经典理论中的对应结构同构，通过显式链级构造与同调不变性得以证明。
• 库兰希与经典（上）同调之间的同构通过一个五步提升与三角剖分过程建立，涉及帐篷函数与向流形的形变。
• 该理论支持在库兰希 bordism 中定义新型 Gromov–Witten 类不变量，其信息量高于经典不变量，可用于证明 Gopakumar–Vafa 不变量的整数性猜想。