[论文解读] Volume form on moduli spaces of d-differentials

Duc-Manh Nguyen|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文证明了在具有指定零点和极点阶数 $\kappa$ 的亏格 $g$ 黎曼曲面上，meromorphic $d$-微分的模空间上存在一个典范的、平行的体积形式，并证明了由该体积形式诱导的测度下，射影化空间 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 的总体积是有限的。

ABSTRACT

Given $d\in \mathbb{N}$, $g\in \mathbb{N} \cup\{0\}$, and an integral vector $\kappa=(k_1,\dots,k_n)$ such that $k_i>-d$ and $k_1+\dots+k_n=d(2g-2)$, let $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ denote the moduli space of meromorphic $d$-differentials on Riemann surfaces of genus $g$ whose zeros and poles have orders prescribed by $\kappa$. We show that $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ carries a canonical volume form that is parallel with respect to its affine complex manifold structure, and that the total volume of $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)=\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}/\mathbb{C}^*$ with respect to the measure induced by this volume form is finite.

研究动机与目标

• 在具有指定阶类型 $\kappa$ 的 meromorphic $d$-微分的模空间 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 上构造一个典范体积形式。
• 确立该体积形式相对于模空间的仿射复流形结构是平行的。
• 研究由该体积形式诱导的测度下，射影化模空间 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 的总体积。
• 确定该总体积是否有限，以解决 $d$-微分理论中一个关键的几何与动力学问题。

提出的方法

• 利用 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 中固有的仿射复流形结构，该结构源于 $d$-微分的局部坐标。
• 利用仿射流形的平坦结构构造一个典范体积形式，确保其在全纯变换下不变。
• 应用平移曲面及其在 $d$-微分中的推广理论，定义一个自然的体积元。
• 利用 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 上的 $\mathbb{C}^*$-作用，将体积形式下降到射影空间 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$。
• 在模空间的轨道丛上使用积分技巧，计算射影空间的总体积。
• 依赖于条件 $\sum k_i = d(2g-2)$ 和 $k_i > -d$，以确保此类微分的存在性及紧化定义的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 模空间 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 是否允许存在一个相对于其仿射结构平行的典范体积形式？
• RQ2 由该体积形式诱导的测度下，射影化空间 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 的总体积是多少？
• RQ3 在典范测度下，$\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 的总体积是否有限？
• RQ4 该典范体积形式在 $d$-微分空间上的 $\mathbb{C}^*$-作用下如何表现？
• RQ5 能否利用模空间的平坦几何与紧化性质，证明体积的有限性？

主要发现

• 模空间 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 携带一个相对于其仿射复流形结构平行的典范体积形式。
• 该体积形式在由仿射结构诱导的平坦联络的单值变换下保持不变。
• 当使用从 $\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 上的典范体积形式诱导的测度时，射影化空间 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 的总体积是有限的。
• 在条件 $k_i > -d$ 和 $\sum k_i = d(2g-2)$ 下，总积分体积的有限性成立，这些条件确保了具有指定阶类型的 meromorphic $d$-微分的存在性。
• 典范体积形式可下降为射影空间 $\mathbb{P}\Omega^d\mathcal{M}_{g,n}(\kappa)$ 上的良定义测度，从而使得总体积的定义成为可能。
• 该结果将 $d=1$（阿贝尔微分）时体积有限性的已知结果推广到更高阶的 $d$-微分，扩展了在 Teichmüller 动力学中的已知结论。