[论文解读] Volume Growth, Spectrum and Stochastic Completeness of Infinite Graphs

Matthias Keller, Daniel Lenz+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2011

Graph theory and applications参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文建立了无限局部有限加权图中体积增长、谱性质与随机完备性之间的联系。通过引入弱球对称图，推导出体积增长与球体边界测度之间关于谱离散性与随机不完备性的显式条件，提供了图结构下对流形类定理的反例，并通过曲率与势增长实现比较结果。

ABSTRACT

We study the connections between volume growth, spectral properties and stochastic completeness of locally finite graphs. For a class of graphs with a very weak spherical symmetry we give a condition which implies both stochastic incompleteness and discreteness of the spectrum. We then use these graphs to give some comparison results for both stochastic completeness and estimates on the bottom of the spectrum for general locally finite graphs.

研究动机与目标

• 研究无限加权图中体积增长、谱性质与随机完备性之间的相互作用。
• 引入并分析一类具有最小对称性的弱球对称图类，以实现谱与随机分析的可处理性。
• 基于球体的体积与边界测度，推导谱离散性的显式条件。
• 通过曲率与势增长，建立一般图中谱底与随机完备性的比较定理。
• 构造具有多项式体积增长但谱底为正且随机不完备的图的例子，挑战流形结果的类比。

提出的方法

• 引入弱球对称图，其中热核具有球对称性，尽管对称性有限，但仍能实现详细的谱分析。
• 通过广义球体体积与其加权边界之比，推导谱底的显式估计。
• 通过体积-边界比条件表征随机完备性，推广了流形上的结果。
• 采用受切赫与姚启发的热核比较方法，适用于对称性最小的图。
• 应用基于曲率的比较（类比李定理），将谱与随机性质在一般图之间关联。
• 利用定义在离散测度空间上的狄氏型与自伴算子，严格定义拉普拉斯算子与谱性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱对称图中，是否可仅通过体积与边界测度估计谱底？
• RQ2 体积与边界增长的何种条件可导致无限图的随机不完备性？
• RQ3 是否存在具有多项式体积增长但谱底为正且随机不完备的图，从而违背流形类比？
• RQ4 如何利用曲率与势增长在一般局部有限加权图之间比较谱与随机性质？
• RQ5 弱球对称图在谱与随机分析中，能在多大程度上作为一般图的比较空间？

主要发现

• 本文基于弱球对称图中球体的体积-边界比，提出了谱离散性的判别准则。
• 通过体积-边界比条件表征随机完备性，将流形上的结果推广至图结构。
• 构造了具有多项式体积增长但谱底为正且随机不完备的图的例子，反驳了格里戈里扬与布鲁克斯定理的直接类比。
• 基于曲率与势增长建立了热核比较，将切赫-姚型估计推广至对称性最小的图。
• 通过离散版李定理推导出谱比较，将郑成等人的结果推广至图结构。
• 本文证明了随机完备性与谱离散性可与多项式体积增长共存，挑战了黎曼几何中的假设。