[论文解读] Volume minimization and Conformally Kähler, Einstein-Maxwell geometry

Akito Futaki, Hajime Ono|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文通过将哈密顿函数生成的共形凯勒-爱因斯坦-麦克斯韦（cKEM）度量的基向量场表征为体积泛函的临界点，建立了紧复流形上共形凯勒-爱因斯坦-麦克斯韦（cKEM）度量的体积最小化原理。关键结果是：当且仅当该泛函的导数为零时，此类度量存在，从而提供了一个类似于凯勒-里奇孤立子和塞萨西-爱因斯坦度量的变分框架。尽管该泛函既非凸也非正规，允许存在多个临界点，这与已知的共形双曲（ambitoric）例子一致。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact complex manifold admitting a Kähler structure. A conformally Kähler, Einstein-Maxwell metric (cKEM metric for short) is a Hermitian metric $ ilde{g}$ on $M$ with constant scalar curvature such that there is a positive smooth function $f$ with $g = f^2 ilde{g}$ being a Kähler metric and $f$ being a Killing Hamiltonian potential with respect to $g$. Fixing a Kähler class, we characterize such Killing vector fields whose Hamiltonian function $f$ with respect to some Kähler metric $g$ in the fixed Kähler class gives a cKEM metric $ ilde{g} = f^{-2}g$. The characterization is described in terms of critical points of certain volume functional. The conceptual idea is similar to the cases of Kähler-Ricci solitons and Sasaki-Einstein metrics in that the derivative of the volume functional gives rise to a natural obstruction to the existence of cKEM metrics. However, unlike the Kähler-Ricci soliton case and Sasaki-Einstein case, the functional is neither convex nor proper in general, and often has more than one critical points. The last observation matches well with the ambitoric examples studied earlier by LeBrun and Apostolov-Maschler.

研究动机与目标

• 确定紧凯勒流形上哪些基向量场在作为固定凯勒类中凯勒度量的哈密顿势函数时，能生成共形凯勒-爱因斯坦-麦克斯韦（cKEM）度量。
• 通过体积泛函构建一个变分原理，其临界点对应于固定凯勒类下的cKEM度量。
• 通过展示体积泛函的导数提供cKEM度量存在的自然障碍，将该结果与凯勒-里奇孤立子和塞萨西-爱因斯坦度量进行类比。
• 分析该泛函非凸、非正规的性质及其影响，包括多个临界点的存在，与已知的共形双曲例子一致。
• 利用该体积泛函方法，为环面流形上的cKEM度量存在性提供一个高效的判别准则。

提出的方法

• 定义体积泛函 $ V(Z) = \int_M e^{u_Z} \omega_g^m $，其中 $ u_Z $ 是 $ Z \in \mathfrak{h} $ 的哈密顿函数，通过 $ \int_M u_Z e^{h_g} \omega_g^m = 0 $ 进行归一化，且 $ \omega_g $ 属于固定的凯勒类。
• 证明在 $ X $ 处泛函 $ V $ 的导数与cKEM-Futaki不变量 $ F_X $ 成正比，即 $ dV_X(Y) = c \cdot F_X(Y) $，从而在临界点处有 $ F_X = 0 $。
• 证明泛函 $ V $ 与固定凯勒类中 $ \omega_g $ 的选择无关，确保在不同凯勒代表下的一致性。
• 利用该泛函将cKEM度量表征为 $ V $ 的临界点，推广了在凯勒-里奇孤立子和塞萨西-爱因斯坦情形下使用的变分方法。
• 将该方法应用于环面流形，通过在势函数多面体上显式计算，证明 $ V $ 的临界点对应于cKEM度量。
• 通过求解 $ \partial V^2 / \partial a = \partial V^2 / \partial b = 0 $，分析具体例子，包括 $ \mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1 $ 上的共形双曲结构及 $ \mathbb{C}P^2 $ 的blow-ups，得到四组解族。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧凯勒流形上，哪些基向量场在作为固定凯勒类中凯勒度量的哈密顿势函数时，能生成共形凯勒-爱因斯坦-麦克斯韦度量？
• RQ2 cKEM度量的存在性如何通过变分原理表征？体积泛函在此表征中起什么作用？
• RQ3 为何体积泛函既非凸也非正规？这如何影响临界点的数量以及多个cKEM解的存在性？
• RQ4 该体积最小化框架能否系统地用于确定环面流形上的cKEM度量，特别是那些具有凸四边形势函数多面体图像的流形？
• RQ5 体积泛函的临界点是否对应于已知例子，如LeBrun的共形双曲度量或Apostolov-Maschler构造的度量？

主要发现

• cKEM度量存在的充要条件是基向量场 $ X $ 为体积泛函 $ V $ 的临界点，且 $ V $ 在 $ X $ 处的导数与cKEM-Futaki不变量成正比。
• 体积泛函 $ V $ 与固定凯勒类中凯勒度量 $ g $ 的选择无关，确保了该表征的稳健性。
• 该泛函在一般情况下既非凸也非正规，这解释了多个临界点的存在，与共形双曲例子中存在多个cKEM度量的现象一致。
• 对于 $ \mathbb{C}P^1 \times \mathbb{C}P^1 $，本文识别出 $ \partial V^2 / \partial a = \partial V^2 / \partial b = 0 $ 的四组解族，其中两组（(3) 和 (4)）在 $ 0 < p < \alpha_q $ 范围内给出实解，暗示存在具有 $ U(1) \times U(1) $ 对称性的新cKEM度量。
• 当 $ b = 0 $ 时的解 (1) 对应于LeBrun的 $ U(2) $ 对称构造，且是唯一满足 $ b = 0 $ 的此类情况，暗示该对称解的唯一性。
• 该泛函的临界点包含具有 $ U(1) \times U(1) $ 对称性的解，本文猜想这些解在 $ 0 < p < \alpha_q $ 范围内可能存在，尽管其存在性尚待证明。