[论文解读] Volume preserving subgroups of A and K and singularities in unimodular geometry

Wojciech Domitrz, J. H. Rieger|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文研究了单模几何中 Mather 的 A 和 K 群的保体积子群，推导出在这些子群作用下，映射 germ 的无穷小模空间的显式同构。结果表明，ℂ 上的 A_Ωₚ-稳定映射具有平凡模空间，而 K_Ωₙ-简单奇点保持其分类，但 A_Ωₙ-稳定映射可能具有无限维模空间，揭示了保体积情形下的新型函数模空间。

ABSTRACT

For a germ of a smooth map f and a subgroup G_V of any of the Mather groups G for which the source or target diffeomorphisms preserve some given volume form V in the source or in the target we study the G_V-moduli space of f that parameterizes the G_V-orbits inside the G-orbit of f. We find, for example, that this moduli space vanishes for A-equivalence with volume-preserving target diffeomorphisms and A-stable maps f and for K-equivalence with volume-preserving source diffeomorphisms and K-simple maps f. On the other hand, there are A-stable maps f with infinite-dimensional moduli space for A-equivalence with volume-preserving source diffeomorphisms.

研究动机与目标

• 分析单模几何中 A 和 K 群的保体积子群作用下，映射 germ 的模空间。
• 确定这些模空间在何时消失或变为无限维，特别是对稳定和简单映射而言。
• 建立无穷小模空间的一般同构，以向量场的散度为表达形式。
• 阐明体积形式在分类问题中的作用，特别是在存在函数模空间的情况下。

提出的方法

• 推导出无穷小模空间与商空间 $ C_r / \mathrm{div}(LG_f^q) $ 之间的同构，其中对大多数群有 $ r = q $，而对 $ \mathcal{K}_{\Omega_p} $ 有 $ r = n $。
• 利用散度映射 $ \mathrm{div}: \mathcal{M}_q \cdot \theta_q \to C_r $，将稳定化子中的向量场与模空间联系起来。
• 应用同调技术，表明对 $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $，模空间同构于与由 $ f $ 的分量生成的理想相关的 de Rham 子复形的第 $ n $ 个上同调。
• 对 $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $，模空间同构于 $ C_r / \mathrm{div}(L\mathcal{A}_f^p) $，前提是 $ L\mathcal{A}_f^p = \mathrm{Lift}(f) $，此条件在判别式或像相关条件下成立。
• 将理论应用于具体例子，如折痕映射 $ f = (x, y^2) $，计算模空间维数，并表明在 $ \mathcal{A}_{\Omega_n} $ 作用下模空间为无限维。
• 利用 $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $ 和 $ \mathcal{L}_{\Omega_p} $ 群，证明即使对简单的奇点（如 cusp $ (x^2, x^3) $）也能产生非平凡模空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，A 和 K 群的保体积子群 $ G_{\Omega_q} $ 作用下，映射 germ 的 $ G_{\Omega_q} $-模空间消失？
• RQ2 ℂ 上的 $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $-稳定映射是否可以不依赖函数模空间进行分类，且该分类是否与标准 $ \mathcal{A} $-分类一致？
• RQ3 $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-简单完全交奇点的模空间结构如何？其是否与 $ \mathcal{K} $-分类一致？
• RQ4 $ \mathcal{A}_{\Omega_n} $-稳定映射是否总是具有无限维模空间？这一现象能否通过稳定化子中向量场的散度检测？
• RQ5 $ \mathcal{L}_{\Omega_p} $ 和 $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $ 等保体积子群如何影响模性？它们是否能在简单奇点上产生非平凡模空间？

主要发现

• 对 ℂ 上的 $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $-稳定映射，其 $ \mathcal{A}_{\Omega_p} $-模空间为平凡，意味着不产生函数模空间，且分类与标准 $ \mathcal{A} $-分类一致。
• 对 $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-简单完全交奇点，其 $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $-模空间为平凡，因此分类与标准 $ \mathcal{K} $-分类一致。
• 折痕映射 $ f = (x, y^2) $ 具有无限维的 $ \mathcal{A}_{\Omega_n} $-模空间，因为 $ \dim C_n / \mathrm{div}(L\mathcal{A}_f^n) $ 为无限。
• 对平面 cusp 映射 $ f = (x^2, x^3) $，其 $ \mathcal{L}_{\Omega_p} $-模性为 2，因为 $ C_p / \mathrm{div}(L\mathcal{L}_f^p) \cong \mathbb{K}\{1, y_1\} $，表明存在两个独立模空间。
• 对折痕映射 $ f = (x, y^2) $ 在 $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $ 作用下，模空间满足 $ C_n / \mathrm{div}(L\mathcal{C}_f^p) \cong \mathbb{K}\{1, y\} $，因此具有两个 $ \mathcal{C}_{\Omega_p} $-模空间。
• 模空间 $ \mathcal{K}_{\Omega_n} $ 同构于与理想 $ \langle f_1, \dots, f_p \rangle $ 相关的 de Rham 子复形的第 $ n $ 个上同调，为模空间提供了同调解释。