[论文解读] Vortex solutions for the compressible Navier-Stokes equations with general viscosity coefficients in 1D: regularizing effects or not on the density

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用 6

一句话总结

该论文在最小正则性假设下，建立了1D可压缩Navier-Stokes方程在一般粘性系数 $\mu(\rho) = \mu\rho^\alpha$ 下全局弱解的存在性：初始动量 $\rho_0u_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R})$，初始密度 $\rho_0 \in BV(\mathbb{R})$。关键结果是通过有效速度 $v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho$ 实现的密度与速度之间的强耦合，可使不连续的初始密度在 $t > 0$ 瞬间实现正则化，形成连续解；而弱耦合则保持不连续性。

ABSTRACT

We consider Navier-Stokes equations for compressible viscous fluids in the one-dimensional case with general viscosity coefficients. We prove the existence of global weak solution when the initial momentum $ρ_0 u_0$ belongs to the set of the finite measure ${\cal M}(\mathbb{R})$ and when the initial density $ρ_0$ is in the set of bounded variation functions $BV(\mathbb{R})$. In particular it allows to deal with initial momentum which are Dirac masses and initial density which admit shocks. We can observe in particular that this type of initial data have infinite energy. Furthermore we show that if the coupling between the density and the velocity is sufficiently strong then the initial density which admits initially shocks is instantaneously regularized and becomes continuous. This coupling is expressed via the regularity of the so called effective velocity $v=u+\frac{μ(ρ)}{ρ^2}\partial_x ρ$ with $μ(ρ)$ the viscosity coefficient. Inversely if the coupling between the initial density and the initial velocity is too weak (typically $ρ_0 v_0\in{\cal M}(\mathbb{R})$) then we prove the existence of weak energy solution in finite time but the density remains a priori discontinuous on the time interval of existence.

研究动机与目标

• 建立1D可压缩Navier-Stokes方程在一般粘性系数 $\mu(\rho) = \mu\rho^\alpha$ 下全局弱解的存在性。
• 分析密度与速度之间耦合对初始密度正则化的影响，特别是当初始数据包含激波或Dirac质量时。
• 确定在何种条件下，尽管初始密度存在不连续性，其仍能在有限时间内变为连续。
• 将存在性结果扩展至有限能量假设之外，允许初始数据具有无限能量（如Dirac动量、BV密度）。

提出的方法

• 采用黏性正则化与有限差分逼近格式构造近似解 $ (\rho_n, u_n) $。
• 应用Aubin-Lions引理，提取 $ \rho_n $ 与 $ \rho_n u_n $ 在局部 $ L^p $ 空间中的强收敛性。
• 运用抛积估计与Sobolev嵌入，控制非线性项如 $ \rho_n u_n^2 $ 和 $ \partial_x P(\rho_n) $。
• 引入有效速度 $ v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho $ 以量化密度与速度之间的耦合强度。
• 建立 $ \rho $ 与 $ 1/\rho $ 在 $ L^\infty $ 中的统一有界性，以及 $ \partial_x\rho $ 在 $ L^2_t(H^1_x) $ 中的统一有界性，确保紧致性。
• 利用Fatou引理与弱收敛性，取极限并验证弱解在分布意义下满足方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，即使初始密度不连续（例如属于 $ BV(\mathbb{R}) $），也能在有限时间内变为连续？
• RQ2 通过有效速度 $ v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho $ 的正则性所量化的密度与速度之间的耦合强度，如何影响密度的正则性？
• RQ3 对于退化粘性 $ \mu(\rho) = \mu\rho^\alpha $ 与具有无限能量的初始数据，可压缩Navier-Stokes方程的全局弱解是否仍存在？
• RQ4 压力律 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $（其中 $ \gamma > 1 $）在正则性与存在性框架中起何种作用？
• RQ5 当 $ \rho_0 \in BV(\mathbb{R}) $ 且 $ \rho_0 u_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}) $ 时，即使初始数据无小量假设，是否仍能保证全局存在性？

主要发现

• 当初始动量 $ \rho_0 u_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}) $ 且初始密度 $ \rho_0 \in BV(\mathbb{R}) $ 时，即使能量无限，全局弱解仍存在。
• 若有效速度 $ v = u + \frac{\mu(\rho)}{\rho^2}\partial_x\rho $ 足够正则（例如属于 $ L^2 $），则初始不连续密度在 $ t > 0 $ 时立即变为连续。
• 当耦合较弱（例如 $ \rho_0 v_0 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}) $）时，密度在解的存在时间区间内保持不连续。
• 解满足 $ \|\rho(t,\cdot)\|_{L^\infty} \leq C(t) $ 与 $ \|\partial_x\rho\|_{L^2_t(L^2_x)} \leq C $，且对所有时间一致成立。
• 速度 $ u $ 属于 $ L^{p(s)-\epsilon}_{\text{loc}}(H^s_{\text{loc}}) $，其中 $ p(s) = \frac{3}{1+2s} $，$ 0 \leq s < 1 $，且 $ \epsilon > 0 $ 足够小。
• 在 $ L^2_{\text{loc}}(L^2_{\text{loc}}) $ 中，$ \rho_n u_n $ 强收敛于 $ \rho u $，从而可在非线性项中取极限。