[论文解读] Wall-crossing in genus zero quasimap theory and mirror maps

Ionuţ Ciocan-Fontanine, Bumsig Kim|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 5

一句话总结

该论文在GIT商空间 $W//G$ 的准映射理论中建立了亏格零的墙穿跃公式，通过将镜像映射解释为准映射不变量的生成函数，推广了环面镜像对称。证明了不同稳定性区域（$ε$）中的不变量通过几何变换相互关联，其等价性通过虚拟局部化和固定点分支的唯一性论证得以验证。

ABSTRACT

For each positive rational number epsilon, the theory of epsilon-stable quasimaps to certain GIT quotients W//G developed in arXiv:1106.3724[math.AG] gives rise to a Cohomological Field Theory. Furthermore, there is an asymptotic theory corresponding to epsilon --> 0. For epsilon >1 one obtains the usual Gromov-Witten theory of W//G, while the other theories are new. However, they are all expected to contain the same information and in particular the numerical invariants should be related by wall-crossing formulas. In this paper we analyze the genus zero picture and find that the wall-crossing in this case significantly generalizes toric mirror symmetry (the toric cases correspond to abelian groups G). In particular, we give a geometric interpretation of the mirror map as a generating series of quasimap invariants. We prove our wall-crossing formulas for all targets W//G which admit a torus action with isolated fixed points, as well as for zero loci of sections of homogeneous vector bundles on such W//G.

研究动机与目标

• 在准映射理论中，为 $W//G$ 的不同稳定性参数 $ε$ 之间的亏格零准映射不变量制定墙穿跃公式。
• 将 Givental 的镜像定理推广至更广泛的GIT商空间，适用于环面中半正完全交截的子空间。
• 将镜像映射的几何意义解释为准映射不变量的生成函数。
• 通过虚拟局部化和固定点技术，证明不同稳定性区域中准映射不变量的等价性。

提出的方法

• 使用带有 $ψ$-类和插入项的准映射不变量定义生成函数 $S^\varepsilon_\mathbf{t}(\gamma)$。
• 利用虚拟局部化计算 $T$-等变准映射不变量在 $W//G$ 上的固定点贡献。
• 在固定点 $\mu$ 处，利用切线权和轨道数据建立 $S_{j,\mu}(z)$ 的递推关系。
• 通过满足五个性质的幂级数唯一性引理，证明 $S^{\varepsilon_1}_\mathbf{t}$ 与 $S^{\varepsilon_2}_\mathbf{t}$ 的等价性。
• 在假设存在孤立的 1-维 $T$-轨道的前提下，验证该级数满足 Givental 的递推关系和初始条件。
• 应用变换 $\tau^{\varepsilon_1,\varepsilon_2}_\gamma$ 关联非相邻区域中的不变量，从而证明墙穿跃公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $W//G$ 的 $ε$-稳定性中，当穿越稳定性墙时，亏格零准映射不变量如何变换？
• RQ2 能否通过准映射不变量将环面镜像对称中的镜像映射推广至非环面目标？
• RQ3 在准映射理论中，镜像映射的几何意义是什么？
• RQ4 如何利用虚拟局部化证明不同 $ε$-区域中准映射不变量的等价性？
• RQ5 在何种条件下，唯一性引理能确保不同区域中生成函数的等价性？

主要发现

• 墙穿跃公式通过变换 $\tau^{\varepsilon_1,\varepsilon_2}_\gamma$ 将任意两个稳定性区域 $\varepsilon_1, \varepsilon_2$ 中的准映射不变量关联起来，证明了量子上同调场论的等价性。
• 镜像映射被几何地解释为准映射不变量的生成函数，将 Givental 的框架从环面情形推广至更一般情况。
• 对于具有孤立 $T$-固定点和孤立 1-维 $T$-轨道的目标，生成函数 $S^\varepsilon_\mathbf{t}(z)(\gamma)$ 满足唯一确定其值的递推关系。
• 证明依赖于虚拟局部化来计算固定点贡献，并验证该级数满足唯一性引理所要求的五个性质。
• 通过证明 $S^{\varepsilon_1}_\mathbf{t}(z)(\gamma)$ 与 $S^{\varepsilon_2}_\mathbf{t}(z)(\gamma)$ 满足相同的递推关系和初始条件，确立了二者之间的等价性。
• 该结果适用于所有具有孤立固定点的 $W//G$，以及此类空间上齐次线丛截面的零点集。