[论文解读] Wasserstein Complexity of Quantum Circuits

Lu Li, Kaifeng Bu+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2022

Commutative Algebra and Its Applications被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于一阶量子Wasserstein距离（即地球移动距离）的新型量子线路复杂度度量——量子Wasserstein复杂度。该度量表明，该复杂度为量子线路的线路成本和实验实现成本均提供了下界，为量化量子资源需求提供了新的几何框架，并揭示了将资源转化为计算能力的量子极限。

ABSTRACT

Given a unitary transformation, what is the size of the smallest quantum circuit that implements it? This quantity, known as the quantum circuit complexity, is a fundamental property of quantum evolutions that has widespread applications in many fields, including quantum computation, quantum field theory, and black hole physics. In this letter, we obtain a new lower bound for the quantum circuit complexity in terms of a novel complexity measure that we propose for quantum circuits, which we call the quantum Wasserstein complexity. Our proposed measure is based on the quantum Wasserstein distance of order one (also called the quantum earth mover's distance), a metric on the space of quantum states. We also prove several fundamental and important properties of our new complexity measure, which stand to be of independent interest. Finally, we show that our new measure also provides a lower bound for the experimental cost of implementing quantum circuits, which implies a quantum limit on converting quantum resources to computational resources. Our results provide novel applications of the quantum Wasserstein distance and pave the way for a deeper understanding of the resources needed to implement a quantum computation.

研究动机与目标

• 基于量子最优传输理论，开发一种新的量子线路复杂度度量。
• 利用一阶量子Wasserstein距离，建立量子线路复杂度的严格下界。
• 将新复杂度度量与实验量子计算中的物理实现成本联系起来。
• 提供一个基于黎曼几何和量子态演化理论的几何框架，用于分析线路资源。
• 证明量子Wasserstein复杂度同时约束了理论线路成本和实验资源成本，揭示了将物理资源转化为计算能力的根本量子极限。

提出的方法

• 基于量子Wasserstein距离一阶（即地球移动距离）在量子线路演化过程中密度矩阵之间的距离，提出一种新的复杂度度量 $ C_{W_1}(U) $。
• 采用离散化路径积分方法，将线路演化近似为一系列酉门的序列，将态演化建模为密度算符空间中的一条曲线。
• 应用三角不等式和迹范数界，将Wasserstein距离与酉演化下态的总变差联系起来。
• 通过哈密顿量方差的量子速度极限界限，控制态变化速率，并推导出成本界。
• 推导出关键不等式 $ \operatorname{Cost}(U) \geq 4\sqrt{2} C_{W_1}(U) $，表明线路成本由Wasserstein复杂度下界约束。
• 将该界扩展至实验成本 $ \mathcal{R}(U) $，证明 $ \mathcal{R}(U) \geq \frac{1}{2} C_{W_1}(U) $，将理论复杂度与物理实现的能量和时间联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 一阶量子Wasserstein距离能否用于定义量子线路的有意义复杂度度量？
• RQ2 所提出的量子Wasserstein复杂度与标准线路成本和实验实现成本之间有何关系？
• RQ3 从最优传输导出的量子线路复杂度下界背后的几何与物理原理是什么？
• RQ4 该新复杂度度量能否揭示将物理资源转化为计算能力的根本量子极限？
• RQ5 Wasserstein复杂度是否比现有度量（如纠缠能力或魔法度）提供更紧或更鲁棒的下界？

主要发现

• 量子线路成本 $ \operatorname{Cost}(U) $ 由 $ 4\sqrt{2} C_{W_1}(U) $ 下界约束，建立了Wasserstein复杂度与线路资源成本之间的直接定量联系。
• 实现量子线路的实验成本 $ \mathcal{R}(U) $ 由 $ \frac{1}{2} C_{W_1}(U) $ 下界约束，表明物理实现成本受新复杂度度量的限制。
• Wasserstein复杂度 $ C_{W_1}(U) $ 通过线路演化路径上密度矩阵之间的 $ W_1 $-距离定义，为线路复杂度提供了几何解释。
• 该界对纯态和混合态均成立，并可推广至含辅助量子比特的线路，具有广泛适用性。
• 结果揭示了将物理资源（如能量、时间）转化为计算资源的效率存在量子极限，因为实验成本无法在Wasserstein复杂度以下被任意降低。
• 该方法具有鲁棒性和普适性，适用于 $ n $-量子比特系统和 $ (n+m) $-量子位系统，且推导出的界独立于特定门集或线路分解方式。