[论文解读] Wasserstein Distributionally Robust Kalman Filtering
本文提出了一种Wasserstein分布鲁棒卡尔曼滤波器，通过在非凸Wasserstein模糊集上求解鲁棒估计问题来对冲模型风险。尽管存在非凸性，该问题仍被重新表述为可处理的凸规划问题，并开发了一种具有拟闭式解子问题的高效Frank-Wolfe算法，所得滤波器在序列估计场景中优于标准方法和静态鲁棒方法。
We study a distributionally robust mean square error estimation problem over a nonconvex Wasserstein ambiguity set containing only normal distributions. We show that the optimal estimator and the least favorable distribution form a Nash equilibrium. Despite the non-convex nature of the ambiguity set, we prove that the estimation problem is equivalent to a tractable convex program. We further devise a Frank-Wolfe algorithm for this convex program whose direction-searching subproblem can be solved in a quasi-closed form. Using these ingredients, we introduce a distributionally robust Kalman filter that hedges against model risk.
研究动机与目标
- 开发一种鲁棒卡尔曼滤波器，以缓解来自名义状态空间模型不确定性的模型风险。
- 解决现有鲁棒滤波器的局限性，这些滤波器要么过于保守，要么在小模型不确定性下失效。
- 利用Wasserstein距离定义一个以名义高斯分布为中心的更具统计鲁棒性的模糊集。
- 尽管Wasserstein模糊集具有非凸性，仍将鲁棒估计问题表述为可处理的凸规划问题。
- 设计一种高效的一阶算法（Frank-Wolfe），并具备收敛性保证，适用于在线序列估计。
提出的方法
- 在仅包含多元正态分布的Wasserstein模糊集上，构建分布鲁棒的均方误差估计问题。
- 证明最优估计器与最不利分布构成纳什均衡，从而支持博弈论解释。
- 利用分布鲁棒优化中的先进重构技术，将非凸问题转化为等价的凸规划问题。
- 开发一种Frank-Wolfe算法，其方向寻找子问题具有拟闭式解，从而实现高效计算。
- 将该算法顺序应用于求解在线滤波问题，在时间步长间保持鲁棒性。
- 使用类型-2 Wasserstein距离定义模糊集，确保统计鲁棒性，并在分布偏移下表现更优。
实验结果
研究问题
- RQ1能否基于捕捉联合状态-输出分布不确定性的Wasserstein模糊集，构建一种分布鲁棒卡尔曼滤波器？
- RQ2正态分布的Wasserstein模糊集的非凸性是否阻碍可处理解法的实现，还是可被重构成凸规划？
- RQ3所得到的鲁棒估计问题能否以高效的方式在线性、顺序地求解，适用于实时滤波？
- RQ4在模型不确定性下，所提滤波器的性能与经典方法和静态鲁棒滤波器相比如何？
- RQ5所提Frank-Wolfe算法在该鲁棒滤波问题中的收敛行为与计算效率如何？
主要发现
- 在非凸Wasserstein模糊集（仅含正态分布）上的分布鲁棒估计问题等价于一个可处理的凸规划问题，从而在非凸性存在的情况下仍能高效求解。
- 最优估计器是观测值的仿射函数，保持了经典卡尔曼滤波的结构，同时增强了鲁棒性。
- 该凸规划的Frank-Wolfe算法具有收敛速率，其曲率常数有界于 $ \frac{2\bar{\sigma}^4}{\underline{\sigma}^3} $，确保了可靠的收敛性。
- 数值结果表明，序列鲁棒滤波方法优于静态估计公式，估计误差降低13 dB（在t=100时为24.5 dB vs. 37.5 dB）。
- 当Wasserstein半径被优化时，静态方法中的鲁棒化无效，因为最优半径在t ≥ 5时坍缩为零，表明不确定性传播破坏了全局鲁棒性。
- 所提滤波器能有效限制时间步长间的不确定性传播，使每一步的鲁棒化均具有实际效益。
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