[论文解读] Wavefront Sets of Unipotent Representations of Reductive $p$-adic Groups II

Dan Ciubotaru, Lucas Mason‐Brown+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2023

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

本文利用卢斯蒂格的算术-几何对应关系与广义施普林格对应关系，为具有实无穷小特征的半单 $p$-进群的不可约单奇表示的波前集建立了精确公式。证明了代数波前集为单点集，证实了米林与沃尔德斯堡的猜想，并将先前结果推广至非伊瓦哈里-球对称情形。

ABSTRACT

The wavefront set is a fundamental invariant of an admissible representation arising from the Harish-Chandra-Howe local character expansion. In this paper, we give a precise formula for the wavefront set of an irreducible representation of real infinitesimal character in Lusztig's category of unipotent representations in terms of the Deligne-Langlands-Lusztig correspondence. Our formula generalizes the main result of arXiv:2112.14354, where this formula was obtained in the Iwahori-spherical case. We deduce that for any irreducible unipotent representation with real infinitesimal character, the algebraic wavefront set is a singleton, verifying a conjecture of M\oeglin and Waldspurger. In the process, we establish new properties of the generalized Springer correspondence in relation to Lusztig's families of unipotent representations of finite reductive groups.

研究动机与目标

• 将单奇表示波前集公式的适用范围从伊瓦哈里-球对称情形扩展至更一般情形。
• 验证关于任意具有实无穷小特征的不可约单奇表示的代数波前集为单点集的猜想。
• 建立广义施普林格对应关系与卢斯蒂格的单奇表示族之间关系的新性质。
• 通过算术-几何对应关系，将波前集与德利涅-兰兰德斯-卢斯蒂格对应关系联系起来。
• 以参数化单奇表示的三元组 $(s, n, \rho)$ 表达波前集的统一公式。

提出的方法

• 利用卢斯蒂格的算术-几何对应关系，将 $p$-进群的单奇表示与朗兰兹对偶群上的数据联系起来。
• 应用广义施普林格对应关系，将幂零轨道与各连通分支群的表示联系起来。
• 在对偶群上利用对偶映射 $d_A$ 作用于对 $(O_\lambda, \bar{C})$，以确定波前集。
• 通过标准模的形变理论与分次赫克代数分析温和表示与单奇表示。
• 应用阿贝尔-泽列维斯基对偶性，关联对偶表示的波前集。
• 利用约化定理与仿射赫克代数上的几何结构，通过幂零轨道数据控制波前集。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有实无穷小特征的半单 $p$-进群的不可约单奇表示的波前集的精确公式是什么？
• RQ2 如米林与沃尔德斯堡所猜想，此类表示的代数波前集是否总是仅包含一个幂零轨道？
• RQ3 广义施普林格对应关系在德利涅-兰兰德斯-卢斯蒂格对应关系下与波前集不变量如何相互作用？
• RQ4 能否通过算术-几何对应关系，统一计算所有经典型与例外型的波前集？
• RQ5 规范非分歧波前集 $KWF(X)$ 在恢复代数波前集 $\bar{k}WF(X)$ 中起什么作用？

主要发现

• 任何具有实无穷小特征的不可约单奇表示的代数波前集 $\bar{k}WF(X)$ 均为单点集，证实了米林与沃尔德斯堡的猜想。
• 波前集通过在对偶群上对幂零轨道与 $\bar{A}(O)$ 中共轭类对 $(O_\lambda, \bar{C})$ 应用对偶映射 $d_A$ 显式计算得出。
• 该公式将 [CMO21] 中关于伊瓦哈里-球对称情形的主要结果推广至所有具有实无穷小特征的单奇表示。
• 在经典型中证明了广义施普林格对应关系是忠实的；在例外型中通过组合分析确立了其忠实性。
• 证明了规范非分歧波前集 $KWF(X)$ 可确定代数波前集 $\bar{k}WF(X)$，支持了 $KWF(X)$ 是 $WF(X)$ 的细化这一预期。
• 表示 $X(s,n,\rho)$ 的波前集为 $d_A(O_\lambda, \bar{C})$，其中 $O_\lambda$ 是与 $n$ 关联的轨道，$\bar{C}$ 是由 $\rho$ 决定的 $\bar{A}(d(O_\lambda))$ 中的类。