[论文解读] Wavelets and spectral triples for higher-rank graphs

Carla Farsi, Elizabeth Gillaspy+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2017

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 33被引用 5

一句话总结

本文通过从具有平稳性的 $k$-Bratteli 图构造出的超度量康托集，建立了小波分解与高秩图的谱三元组之间的深刻联系。研究证明，拉普拉斯-贝尔特拉米算子与狄拉克算子的本征空间恰好与无限路径空间的小波分解相匹配，且相关测度为经缩放的豪斯多夫测度。

ABSTRACT

In this paper, we present two new ways to associate a spectral triple to a higher-rank graph $Λ$. Moreover, we prove that these spectral triples are intimately connected to the wavelet decomposition of the infinite path space of $Λ$ which was introduced by Farsi, Gillaspy, Kang, and Packer in 2015. We first introduce the concept of stationary $k$-Bratteli diagrams, to associate a family of ultrametric Cantor sets to a finite, strongly connected higher-rank graph $Λ$. Then we show that under mild hypotheses, the Pearson-Bellissard spectral triples of such Cantor sets have a regular $ζ$-function, whose abscissa of convergence agrees with the Hausdorff dimension of the Cantor set, and that the measure $μ$ induced by the associated Dixmier trace agrees with the measure $M$ on the infinite path space $Λ^\infty$ of $Λ$ which was introduced by an Huef, Laca, Raeburn, and Sims. Furthermore, we prove that $μ= M$ is a rescaled version of the Hausdorff measure of the ultrametric Cantor set. From work of Julien and Savinien, we know that for $ζ$-regular Pearson-Bellissard spectral triples, the eigenspaces of the associated Laplace-Beltrami operator constitute an orthogonal decomposition of $L^2(Λ^\infty, μ)$; we show that this orthogonal decomposition refines the wavelet decomposition of Farsi et al. In addition, we generalize a spectral triple of Consani and Marcolli from Cuntz-Krieger algebras to higher-rank graph $C^*$-algebras, and prove that the wavelet decomposition of Farsi et al.~describes the eigenspaces of its Dirac operator.

研究动机与目标

• 通过从 $k$-Bratteli 图导出的超度量康托集，将谱三元组与高秩图相关联。
• 证明 Pearson-Bellissard 谱三元组的 zeta 函数的收敛横坐标等于康托集的豪斯多夫维数。
• 证明谱三元组上的迪克曼迹测度与 an Huef 等人引入的无限路径空间 $\Lambda^\infty$ 上的测度 $M$ 一致。
• 证明拉普拉斯-贝尔特拉米算子的本征空间细化了 Farsi 等人提出的小波分解。
• 将 Consani-Marcolli 谱三元组推广至高秩图 $C^*$-代数，并证明其本征空间与小波分解一致。

提出的方法

• 从有限、强连通的高秩图 $\Lambda$ 构造平稳的 $k$-Bratteli 图。
• 利用 $k$-Bratteli 图的结构，在无限路径空间 $\Lambda^\infty$ 上定义超度量康托集 $X_{\mathcal{B}}$。
• 将 Pearson-Bellissard 谱三元组应用于这些超度量康托集，并分析其 zeta 函数与迪克曼迹。
• 证明 zeta 函数的收敛横坐标等于康托集的豪斯多夫维数。
• 通过豪斯多夫测度的缩放，证明由迪克曼迹诱导的测度 $\mu$ 与 $\Lambda^\infty$ 上的测度 $M$ 一致。
• 利用 Julien 与 Savinien 的理论，将拉普拉斯-贝尔特拉米算子的本征空间与 $L^2(\Lambda^\infty, \mu)$ 中的小波分解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过超度量康托集从高秩图构造谱三元组？
• RQ2 Pearson-Bellissard 谱三元组的 zeta 函数与关联康托集的豪斯多夫维数之间有何关系？
• RQ3 谱三元组上的迪克曼迹测度是否与无限路径空间 $\Lambda^\infty$ 上的测度 $M$ 一致？
• RQ4 拉普拉斯-贝尔特拉米算子的本征空间如何与 $L^2(\Lambda^\infty, \mu)$ 中的小波分解相关？
• RQ5 能否将 Cuntz-Krieger 代数的 Consani-Marcolli 谱三元组推广至高秩图 $C^*$-代数？其本征空间是否与小波分解一致？

主要发现

• Pearson-Bellissard 谱三元组在超度量康托集上的 zeta 函数的收敛横坐标等于该集合的豪斯多夫维数。
• 由迪克曼迹在谱三元组上诱导的测度 $\mu$ 与 an Huef、Laca、Raeburn 与 Sims 引入的 $\Lambda^\infty$ 上的测度 $M$ 完全一致。
• $\mu = M$ 是超度量康托集上豪斯多夫测度的缩放版本。
• 拉普拉斯-贝尔特拉米算子的本征空间在 $L^2(\Lambda^\infty, \mu)$ 上构成正交分解，且细化了 Farsi 等人提出的小波分解。
• 高秩图的广义 Consani-Marcolli 谱三元组的本征空间精确匹配小波分解 $\mathscr{V}_0 \oplus \bigoplus_{q=0}^\infty \mathcal{W}_q$。
• 狄拉克算子的本征空间微分同构于小波子空间 $\mathcal{W}_q = \mathcal{R}_{q+1} \cap \mathcal{R}_q^\perp$ 与 $\mathscr{V}_0 = \mathcal{R}_0 \oplus \mathcal{R}_{-1}$。