[论文解读] Weak convergence of the empirical copula process with respect to weighted metrics

Axel Bücher, Betina Berghaus+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文在序列依赖数据下，于加权上确界范数下建立了经验经验copula过程的弱收敛性，使排名统计量和依赖函数估计的渐近分析成为可能。主要贡献在于证明了在单位立方体边界处趋于零的权函数下的收敛性，将现有结果扩展至更强的度量和更广泛的统计应用，包括Pickands依赖函数估计和Anderson-Darling型检验。

ABSTRACT

The empirical copula process plays a central role in the asymptotic analysis of many statistical procedures which are based on copulas or ranks. Among other applications, results regarding its weak convergence can be used to develop asymptotic theory for estimators of dependence measures or copula densities, they allow to derive tests for stochastic independence or specific copula structures, or they may serve as a fundamental tool for the analysis of multivariate rank statistics. In the present paper, we establish weak convergence of the empirical copula process (for observations that are allowed to be serially dependent) with respect to weighted supremum distances. The usefulness of our results is illustrated by applications to general bivariate rank statistics and to estimation procedures for the Pickands dependence function arising in multivariate extreme-value theory.

研究动机与目标

• 在强于未加权范数且更适合处理具有奇点的统计泛函的加权上确界范数下，建立经验copula过程的弱收敛性。
• 将现有弱收敛结果扩展至允许观测值存在序列依赖，具体为在指数α-混合条件下。
• 使连续映射定理和函数delta方法能够应用于在未加权度量下不连续的泛函，例如涉及1/x型奇点的泛函。
• 支持基于排名的统计量和依赖度量的渐近分析，特别是在多元极值理论中。
• 为依赖于经验copula过程加权泛函的拟合优度检验和估计程序提供理论基础。

提出的方法

• 作者采用函数delta方法框架，推导了在加权上确界范数下经验copula过程的弱收敛性。
• 定义了在单位立方体边界处趋于零的权函数，例如在二元情形下为 $\tilde{g}(u,v) = u \wedge v \wedge (1-u) \wedge (1-v)$，以处理泛函中的奇点。
• 证明依赖于强逼近技术及在依赖条件下经验过程的矩界，使用混合系数和边缘分布函数的条件。
• 关键的技术引理控制了经验分布函数广义逆的行为以及经验copula过程在边界附近的振荡。
• 分析中纳入了对copula光滑性以及边缘经验过程收敛速率的条件，以确保在加权范数下的紧致性。
• 作者通过α-混合条件下的集中不等式和矩界，建立了渐近一致连续性及经验过程的统一界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在单位立方体边界处趋于零的加权上确界范数下，建立经验copula过程的弱收敛性？
• RQ2 序列依赖（特别是指数α-混合）如何影响在加权度量下经验copula过程的弱收敛性？
• RQ3 函数delta方法能否用于推导在未加权度量下不连续的泛函的渐近分布，例如 $\int f(u)/u \, du$？
• RQ4 经验copula过程在加权范数下的收敛速率是多少？其如何依赖于权函数和依赖结构？
• RQ5 理论结果能否用于推导基于排名的统计量和Pickands依赖函数估计量的渐近分布？

主要发现

• 经验copula过程在边界处趋于零的加权上确界范数下弱收敛，例如在二维情形下 $\tilde{g}(u,v) = u \wedge v \wedge (1-u) \wedge (1-v)$。
• 在指数α-混合条件下收敛成立，将先前i.i.d.结果扩展至依赖数据，这对时间序列应用至关重要。
• 加权弱收敛使得连续映射定理可应用于在未加权度量下不连续的泛函，例如涉及 $1/x$ 奇点的泛函。
• 该结果支持Anderson-Darling型统计量在copula拟合优度检验中的渐近分布理论。
• 本文通过函数delta方法推导了多元极值理论中Pickands依赖函数估计量的渐近分布。
• 在加权范数下的收敛速率为 $O_P(n^{-\omega/2})$，其中 $\omega \in (0, \theta_1 \wedge \theta_2)$，且 $\theta_1, \theta_2$ 与光滑性及混合条件相关。