[论文解读] Weak Dominance Drawings and Linear Extension Diameter

Evgenios M. Kornaropoulos, Ioannis G. Tollis|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2011

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文提出了针对一般有向无环图（DAG）的弱支配绘图方法，其中坐标的支配关系暗示存在有向路径，但反之不成立，从而最小化虚假暗示路径（fips）。本文证明弱支配绘图问题为NP完全问题，并证明其与偏序集中的线性扩展直径问题等价。

ABSTRACT

We introduce the problem of Weak Dominance Drawing for general directed acyclic graphs and we show the connection with the linear extension diameter of a partial order P. We present complexity results and bounds.

研究动机与目标

• 为一般DAG形式化弱支配绘图，放宽标准支配绘图中路径必须支配的严格要求。
• 最小化虚假暗示路径（fips）的数量，即当坐标支配关系暗示存在路径，但图中实际不存在该路径的情况。
• 建立弱支配绘图与偏序集线性扩展直径之间的正式联系。
• 通过从线性扩展直径问题约化，证明弱支配绘图问题的NP完全性。
• 提供在弱支配绘图中可实现的最小fips数量的理论界。

提出的方法

• 将弱支配绘图定义为一种二维坐标分配，其中路径存在性意味着坐标支配，但反之不一定成立。
• 使用两个拓扑排序 $ t_X $ 和 $ t_Y $ 建模问题，其交集大小决定fips的数量。
• 将弱支配绘图决策问题（WDD）表述为寻找两个拓扑排序，使其交集大小至多为 $ C $。
• 建立从线性扩展直径（LED）问题到WDD问题的约化，证明NP完全性。
• 利用不可比对数 $ inc(G) $ 作为fips的上界，并推导出 $ \min fip(\Gamma) \leq inc(G) - (dim(G) - 2) $。
• 证明WDD与LED的最优解等价，表明最小化fips对应于最大化两个线性扩展之间的距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 在DAG中寻找具有最少虚假暗示路径的弱支配绘图的计算复杂度是什么？
• RQ2 弱支配绘图问题与偏序集的线性扩展直径之间有何关系？
• RQ3 能否以DAG的维数和不可比对数来界定弱支配绘图中最小的虚假暗示路径数量？
• RQ4 是否存在多项式时间算法来计算最优弱支配绘图，还是该问题本质上是困难的？
• RQ5 拓扑排序与二维支配绘图中虚假暗示路径最小化之间的关系是什么？

主要发现

• 弱支配绘图问题为NP完全问题，通过从线性扩展直径问题约化证明。
• 线性扩展直径问题与弱支配绘图问题等价：一个问题的解可导出另一个问题的解。
• 弱支配绘图中虚假暗示路径的最小数量受 $ \min fip(\Gamma) \leq inc(G) - (dim(G) - 2) $ 限制。
• 最优弱支配绘图对应于线性扩展图中距离最大的一对线性扩展。
• 对于维数 $ dim(G) > 2 $ 的DAG，除非图允许标准支配绘图，否则无法实现零虚假暗示路径。
• 不可比对数 $ inc(G) $ 是任何弱支配绘图中虚假暗示路径数量的上界。