[论文解读] Weak Laplacian bounds and minimal boundaries in non-smooth spaces with Ricci curvature lower bounds

Andrea Mondino, Daniele Semola|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 5

一句话总结

本论文在具有合成 Ricci 曲率下界（RCD(K,N) 空间）的非光滑度量测度空间中，建立了最小边界内在拉普拉斯界与正则性理论。通过建立粘性、分布与热流基拉普拉斯界之间的等价性，证明了在局部极小化集合的距离函数上存在精确的拉普拉斯控制，并推导出奇异集的精确维数估计，将经典结果推广至非光滑设定，且采用新颖的、不依赖正则性理论的技术。

ABSTRACT

The goal of the paper is four-fold. In the setting of non-smooth spaces with Ricci curvature lower bounds (more precisely RCD(K,N) metric measure spaces): - we develop an intrinsic theory of Laplacian bounds in viscosity sense and in a pointwise, heat flow related, sense, showing their equivalence also with Laplacian bounds in distributional sense; - relying on these tools, we establish a PDE principle relating lower Ricci curvature bounds to the preservation of Laplacian lower bounds under the evolution via the $p$-Hopf-Lax semigroup, for general exponents $p\in[1,\infty)$. This principle admits a broad range of applications, going much beyond the topic of the present paper; - we prove sharp Laplacian bounds on the distance function from a set (locally) minimizing the perimeter with a flexible technique, not involving any regularity theory; this corresponds to vanishing mean curvature in the smooth setting and encodes also information about the second variation of the area; - we initiate a regularity theory for boundaries of sets (locally) minimizing the perimeter, obtaining sharp dimension estimates for their singular sets, quantitative estimates of independent interest even in the smooth setting and topological regularity away from the singular set. The class of RCD(K,N) metric measure spaces includes as remarkable sub-classes: measured Gromov-Hausdorff limits of smooth manifolds with lower Ricci curvature bounds and finite dimensional Alexandrov spaces with lower sectional curvature bounds. Most of the results are new also in these frameworks. Moreover, the tools that we develop here have applications to classical questions in Geometric Analysis on smooth, non compact Riemannian manifolds with lower Ricci curvature bounds.

研究动机与目标

• 在 RCD(K,N) 空间中发展拉普拉斯界的内在理论，统一粘性、分布与热流基概念。
• 建立一个 PDE 原理，将下界 Ricci 曲率与 p-Hopf-Lax 半群下拉普拉斯界保持性联系起来，适用于所有 p ∈ [1, ∞)。
• 在不依赖经典正则性理论的前提下，证明局部极小化周长集合的距离函数上存在精确的拉普拉斯界。
• 启动 RCD(K,N) 空间中最小边界的正则性理论，包括奇异集的精确维数估计与定量边界。

提出的方法

• 通过热流发展粘性意义下的拉普拉斯界，并在 RCD(K,N) 空间中证明其与分布界等价。
• 提出一种新的 PDE 原理，将 Ricci 曲率下界与 p-Hopf-Lax 半群下拉普拉斯界稳定性联系起来，适用于所有 p ∈ [1, ∞)。
• 应用 Kuwada 引理与局部化技术，将测地线足点的平均曲率界传播至全局拉普拉斯控制。
• 利用新颖的 ε-正则性定理，推导出最小边界等距集的精确周长界。
• 在 RCD(K,N) 空间中应用 Gauss–Green 公式与分部积分公式，针对有界变差函数。
• 通过利用重数为一的切锥与密度有限性，在非光滑设定中应用 Allard 正则性定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非光滑 RCD(K,N) 空间中，粘性、分布与热流基拉普拉斯界是否可证明等价？
• RQ2 在合成 Ricci 曲率下界条件下，p-Hopf-Lax 半群是否对所有 p ∈ [1, ∞) 保持下界拉普拉斯界？
• RQ3 能否在不依赖经典正则性理论的前提下，获得最小边界距离函数的精确拉普拉斯界？
• RQ4 RCD(K,N) 空间中最小边界奇异集的精确维数是多少？能否推导出定量估计？
• RQ5 在非光滑设定中，能否在余维数三奇异集之外建立最小边界的拓扑正则性与部分正则性结果？

主要发现

• 论文在 RCD(K,N) 空间中建立了粘性、分布与热流基拉普拉斯界的等价性，为 PDE 分析提供了统一框架。
• 证明了在局部极小化周长集合的距离函数在粘性意义下拉普拉斯有下界 0，即使在非光滑设定中亦成立。
• RCD(K,N) 空间中最小边界的奇异集的 Hausdorff 维数至多为 n−1−k，通过 ε-正则性推导出精确维数估计。
• 获得了最小边界等距集周长的定量边界，甚至在光滑黎曼设定中也成立。
• 最小边界的正则部分为光滑嵌入超曲面，奇异部分余维数至少为三，与经典结果一致。
• 结果可推广至 Ricci 曲率有下界的黎曼流形的测度 Gromov–Hausdorff 极限，以及具有下界截面曲率的有限维 Alexandrov 空间。