[论文解读] Weak multiplier Hopf algebras III. Integrals and duality

Alfons Van Daele, Shuanhong Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2017

Algebraic structures and combinatorial models被引用 7

一句话总结

本文引入了正则弱乘子霍普夫代数中的积分与对偶性，证明了具有充分积分的此类代数会存在一个对偶结构，且该对偶结构本身也是一个具有积分的正则弱乘子霍普夫代数。该对偶性推广了有限维弱霍普夫代数与代数量子群的已知结果，并通过基于对偶群胚的示例加以说明。

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a weak multiplier Hopf algebra. It is a pair of a non-degenerate algebra $A$, with or without identity, and a coproduct $Δ$ on $A$, satisfying certain properties. The main difference with multiplier Hopf algebras is that now, the canonical maps $T_1$ and $T_2$ on $A\otimes A$, defined by $$T_1(a\otimes b)=Δ(a)(1\otimes b) \qquad\quad ext{and}\qquad\quad T_2(c\otimes a)=(c\otimes 1)Δ(a),$$ are no longer assumed to be bijective. Also recall that a weak multiplier Hopf algebra is called regular if its antipode is a bijective map from $A$ to itself. In this paper, we introduce and study the notion of integrals on such regular weak multiplier Hopf algebras. A left integral is a non-zero linear functional on $A$ that is left invariant (in an appropriate sense). Similarly for a right integral. For a regular weak multiplier Hopf algebra $(A,Δ)$ with (sufficiently many) integrals, we construct the dual $(\widehat A,\widehatΔ)$. It is again a regular weak multiplier Hopf algebra with (sufficiently many) integrals. This duality extends the known duality of finite-dimensional weak Hopf algebras to this more general case. It also extends the duality of multiplier Hopf algebras with integrals, the so-called algebraic quantum groups. For this reason, we will sometimes call a regular weak multiplier Hopf algebra with enough integrals an algebraic quantum groupoid. We discuss the relation of our work with the work on duality for algebraic quantum groupoids by Timmermann. We also illustrate this duality with a particular example in a separate paper. In this paper, we only mention the main definitions and results for this example. However, we do consider the two natural weak multiplier Hopf algebras associated with a groupoid in detail and show that they are dual to each other in the sense of the above duality.

研究动机与目标

• 定义并研究正则弱乘子霍普夫代数上的左积分与右积分。
• 为具有充分积分的正则弱乘子霍普夫代数构造一个对偶弱乘子霍普夫代数结构。
• 将代数量子群与有限维弱霍普夫代数的对偶理论推广至更广泛的设定。
• 证明与群胚相关的两个弱乘子霍普夫代数在此框架下互为对偶。
• 厘清本研究与蒂默曼关于带积分的乘子霍普夫胚丛结果之间的关系。

提出的方法

• 将左积分与右积分定义为满足特定在coproduct下不变条件的非零线性泛函。
• 利用标准幂等元 $ E \in M(A \otimes A) $ 来刻画标准映射 $ T_1 $ 与 $ T_2 $ 的像与核，这对结构至关重要。
• 通过积分与对偶配对 $ \langle f, \lambda_p \rangle = f(p) $ 构造对偶弱乘子霍普夫代数 $ (\widehat{A}, \widehat{\Delta}) $。
• 利用在正则情形下双射的反演算子 $ S $ 来定义对偶结构，并验证其公理。
• 将该构造应用于基于群胚的示例：$ K(G) $ 与 $ \mathbb{C}G $，表明它们通过配对关系互为对偶。
• 使用拉德福德公式 $ \mu \diamond \mu = \mu(1)\mu $ 的形式，将积分表示为单个忠实积分的函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在正则弱乘子霍普夫代数中定义并表征积分？
• RQ2 在何种条件下，正则弱乘子霍普夫代数会存在一个对偶结构，且该对偶结构本身也是一个具有积分的正则弱乘子霍普夫代数？
• RQ3 群胚 $ G $ 对应的两个代数 $ K(G) $ 与 $ \mathbb{C}G $ 之间的对偶性如何融入一般对偶框架？
• RQ4 该对偶性与蒂默曼关于带积分的乘子霍普夫胚丛结果之间存在何种关系？
• RQ5 当存在足够多积分时，能否保证存在一个忠实的积分？这与弗罗贝尼乌斯性质有何关联？

主要发现

• 具有充分积分的正则弱乘子霍普夫代数会存在一个对偶结构 $ (\widehat{A}, \widehat{\Delta}) $，且该对偶结构本身也是一个具有积分的正则弱乘子霍普夫代数。
• 该对偶性将有限维弱霍普夫代数与代数量子群的已知对偶性推广至无限维情形。
• 与群胚相关联的两个弱乘子霍普夫代数 $ K(G) $ 与 $ \mathbb{C}G $ 在配对 $ \langle f, \lambda_p \rangle = f(p) $ 下互为对偶。
• 当存在一个忠实的左积分时，所有左积分均可通过拉东-尼科迪姆元素表示，且模自动变换是良好定义的。
• 具有正积分的弱乘子霍普夫 $^*$-代数的对偶结构有望继承 $^*$-结构与正积分，从而支持希尔伯特空间的提升。
• 在非正则情形下，该理论仍处于开放状态，且推测基代数的弗罗贝尼乌斯性质在保证存在一个忠实积分方面起着核心作用。