[论文解读] Weak solutions for a system of quasilinear elliptic equations

M. A. Ragusa, A. Razani|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2020

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用 7

一句话总结

本文通过变分法与 O(N) 群不变性，建立了在 ℝᴺ 上涉及 p-Laplacian 与 q-Laplacian 的拟线性椭圆方程组存在无界径向对称弱解序列的结果。关键结果为：在非线性项与权函数满足适当的增长与可积性条件时，对于参数 λ 的某一范围，此类解存在，其中一序列在范数上无界发散，另一序列在 Sobolev 空间中弱收敛于零。

ABSTRACT

A system of quasilinear elliptic equations on an unbounded domain is considered. The existence of a sequence of radially symmetric weak solutions is proved via variational methods.

研究动机与目标

• 在无界域上建立含 p-Laplacian 与 q-Laplacian 算子的拟线性椭圆方程组弱解存在的结果。
• 通过正交群 O(N) 在 Sobolev 空间上的作用，将问题置于径向对称的框架下进行分析。
• 在径向对称函数空间中应用变分法，以识别对应于弱解的临界点。
• 刻画解序列在 Sobolev 空间中无界或弱收敛于零的条件。
• 通过紧嵌入与群不变性，拓展临界点理论在无界域中的适用性。

提出的方法

• 在乘积空间 $ W^{1,p}(\rN) \times W^{1,q}(\rN) $ 上定义能量泛函 $ I_\nu $，其中 $ p,q > N > 1 $。
• 通过正交群 $ O(N) $ 的作用施加径向对称性，将问题限制在径向对称函数的子空间 $ X = W^{1,p}_r(\rN) \times W^{1,q}_r(\rN) $ 上。
• 应用 Palais 对称临界点原理，确保泛函在不变子空间上限制后的临界点也是全空间中的临界点。
• 利用紧嵌入结果（定理 1.5）从 $ W^{1,p}_r(\rN) $ 到 $ L^\f{\rN} $，确保有界序列的序列紧性。
• 构造具有紧台集且范数受控的测试序列 $ (H_{1n}, H_{2n}) $，以证明 $ I_\nu(H_{1n}, H_{2n}) \to -\infty $，从而表明泛函无下界。
• 应用临界点定理（定理 2.1）推得在 $ X $ 中存在无界临界点序列，其为方程组的弱解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \mathbb{R}^N $ 上，含 p-Laplacian 与 q-Laplacian 算子的拟线性椭圆方程组在何种条件下存在径向对称弱解序列？
• RQ2 非线性项 $ f_1, f_2 $、权函数 $ \alpha_1, \alpha_2 $ 与参数 $ \lambda $ 之间的相互作用如何影响解的存在性与行为？
• RQ3 变分法能否在无界域中有效应用，以产生无界或弱收敛于零的解？
• RQ4 泛函的 O(N)-不变性及其相关群作用在将问题约化为紧致设置中起何种作用？
• RQ5 对 $ f_1, f_2 $ 的增长与 $ \alpha_1, \alpha_2 $ 的 $ L^1 $-范数的何种定量条件可确保此类解序列的存在？

主要发现

• 当 $ \lambda $ 属于由 $ f_1, f_2 $ 的增长与 $ \alpha_1, \alpha_2 $ 的 $ L^1 $-范数所决定的特定区间时，系统 (1.1) 存在无界径向对称弱解序列。
• 证明了泛函 $ I_\lambda $ 沿函数序列 $ (H_{1n}, H_{2n}) $ 无下界，从而表明存在发散的临界点序列。
• 当 $ \lambda \in \Lambda' = \left] \Omega, \frac{1}{(p c_1^p \|\alpha_2\|_1 + q c_2^q \|\alpha_1\|_1) A'} \right[ $ 时，存在一列弱解在 $ W^{1,p}(\mathbb{R}^N) \times W^{1,q}(\mathbb{R}^N) $ 中弱收敛于零。
• 通过 Palais 原理，证明了变分法获得的临界点为弱解，该原理确保 $ O(N) $-不变泛函限制后的临界点亦为全空间中的临界点。
• 当 $ 2 \leq N < p < \infty $ 时，紧嵌入 $ W^{1,p}_r(\mathbb{R}^N) \hookrightarrow L^\infty(\mathbb{R}^N) $ 对收敛性与有界性论证至关重要。
• 存在两个不同的解序列——一个无界，一个弱收敛于零——其存在性取决于 $ f_1, f_2 $ 在零点与无穷远处的相对增长速率，由量 $ A' $、$ B_1' $、$ B_2' $ 与 $ \Omega $ 所刻画。