[论文解读] Weakly almost periodic functionals, representations, and operator spaces

Matthew Daws|ArXiv.org|Jan 31, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文通过弱几乎周期泛函，建立了可完全有界算子空间上闭子代数的完全有界算子代数的内在刻画。它改编了徐的插值技术，并将杨氏关于巴拿赫代数的经典结果推广至算子空间框架，提供了弱紧因子分解的完整算子空间类比。

ABSTRACT

A theorem of Davis, Figiel, Johnson and Pełczyński tells us that weakly-compact operators between Banach spaces factor through reflexive Banach spaces. The machinery underlying this result is that of the real interpolation method, which has been adapted to the category of operator spaces by Xu, showing the this factorisation result also holds for completely bounded weakly-compact maps. In this note, we show that Xu's ideas can be adapted to give an intrinsic characterisation of when a completely contractive Banach algebra arises as a closed subalgebra of the algebra of completely bounded operators on a reflexive operator space. This result was shown by Young for Banach algebras, and our characterisation is a direct analogue of Young's, involving weakly almost periodic functionals.

研究动机与目标

• 将杨氏关于巴拿赫代数通过自反巴拿赫空间因子分解的刻画推广至算子空间框架。
• 为作为自反算子空间E的CB(E)的闭子代数出现的完全有界巴拿赫代数提供内在刻画。
• 改编徐的算子空间实插值方法，以建立完全有界模映射的因子分解结果。
• 阐明弱几乎周期泛函在算子代数结构中的作用，特别是在傅里叶代数A(G)的背景下。
• 探讨A(G)上的算子空间结构是否能促成对WAP(A(G)′)及其与对偶巴拿赫代数关系的更深层次理解。

提出的方法

• 改编徐的算子空间插值方法，以推导完全有界模映射的因子分解结果。
• 以弱几乎周期泛函的概念作为关键工具，刻画完全有界巴拿赫代数在自反算子空间上可表示的条件。
• 应用A(G)与VN(G)之间的对偶性，表明A(G)继承自然的算子空间结构，从而可使用算子空间技术。
• 利用典范嵌入κ_E: E → E''，识别当κ_E(E)成为A''中的子双模时的情形，确保乘法的分别弱*连续性。
• 利用完全有界巴拿赫代数A是对偶巴拿赫代数当且仅当κ_E(E)是A''中的A-双模这一事实。
• 通过识别CB(A ⊗^h A, A) ≅ CB(A, CB(A))，将乘法映射重新表述为进入CB(A)的完全有界同态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，完全有界巴拿赫代数A等距同构于某个自反算子空间E的CB(E)的闭子代数？
• RQ2 完全有界巴拿赫代数的对偶中弱几乎周期泛函如何与通过自反算子空间的完全有界映射因子分解相关？
• RQ3 A(G)上的算子空间结构能否用于刻画WAP(A(G)′)，使其反映群G的群结构？
• RQ4 是否存在类似于完全有界的“完全弱紧性”概念，适用于完全有界映射？
• RQ5 在巴拿赫代数上，最大量化是否保持其在自反算子空间上可表示的性质？

主要发现

• 完全有界巴拿赫代数A完全等距同构于某个自反算子空间E的CB(E)的闭子代数，当且仅当A在其对偶中拥有足够多的弱几乎周期泛函。
• 该结果为杨氏关于巴拿赫代数通过自反巴拿赫空间因子分解的刻画提供了完整的算子空间类比，现适用于完全有界映射。
• 当且仅当A是对偶巴拿赫代数时，典范嵌入κ_E(E)成为A''中的子双模，这等价于A上的乘法是分别弱*连续的。
• 对于傅里叶代数A(G)，算子空间结构确保A(G)完全等距嵌入WAP(A(G)′)′，且该嵌入与算子空间结构相容。
• 该结果意味着，局部紧群G上的测度代数M(G)继承最大算子空间结构，并完全等距嵌入于某个自反E的CB(E)中。
• 本文确认A(G)上的算子空间结构对于捕捉与VN(G)的对偶性至关重要，且L₁(G)或B(G)上的最大量化保持通过自反算子空间的因子分解性质。