[论文解读] Weight functions and log-optimal investment portfolios

Yuri Suhov, Izabella Stuhl+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Economic theories and models参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过引入对不同结果赋予不同重要性的权重函数，扩展了对数最优投资组合理论。证明了在特定条件下，加权对数增长率为上鞅，且最优策略为比例投注——仅依赖于收益函数，而不依赖于权重函数的形式——当收益函数与权重函数满足特定条件时，该策略形成鞅。

ABSTRACT

Following the paper by Algoet--Cover (1988), we analyse log-optimal portfolios where return evaluation includes `weights' of different outcomes. The results are twofold: (A) under certain conditions, logarithmic growth rate is a supermartingale, and (B) the optimal (martingale) investment strategy is a proportional betting; it does not depend on the form of the weight function, although the optimal rate does. The existence of an optimal investment strategy has been established earlier in a great generality by Kramkov--Schachermayer (2003) although our underlying assumptions are different.

研究动机与目标

• 通过引入任意权重函数，将对数最优投资组合理论推广至标准假设之外。
• 建立加权对数增长率为上鞅的条件。
• 在加权收益评估下，确定最优投资策略的形式。
• 证明无论权重函数形式如何，最优策略始终保持为比例投注。
• 为加权对数最优投资组合中鞅策略的存在性提供明确条件。

提出的方法

• 使用适应于过去结果 $ \mathfrak{F}_{n-1} $ 的可预知投资策略 $ C_n $，以确保动态决策。
• 定义加权对数增长率 $ S_N = \sum_{j=1}^N \varphi_j(\varepsilon_j; \underline{\varepsilon}_1^{j-1}) \log \frac{Z_j}{Z_{j-1}} $，其中 $ \varphi_j $ 为非负权重函数。
• 通过辅助函数 $ b_n(x_n) $ 的测度变换，推导 $ S_n - \alpha n $ 的上鞅与鞅性质的条件。
• 施加两个关键条件：(1) $ \int \varphi_n(x_n; \underline{\varepsilon}_1^{n-1}) b_n(x_n) g_n(x_n) d\mu_n(x_n) = 0 $ 几乎必然成立，(2) $ \int \varphi_n b_n d\mu_n \leq \mathbb{E}[\varphi_n | \mathfrak{F}_{n-1}] $ 几乎必然成立。
• 推导离散与连续情形下最优增长率 $ \alpha $ 的显式表达式，包括高斯分布与独立同分布情形。
• 证明当收益函数 $ g(x) $ 满足涉及 $ \Sigma_0 $ 与 $ \Sigma $ 的特定函数形式时，最优策略为比例投注 $ C_n = D Z_{n-1} $，其中 $ D \in (0,1) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，加权对数增长率 $ S_N $ 为上鞅？
• RQ2 引入权重函数后，最优投资策略是否仍为比例投注？
• RQ3 收益函数 $ g(x) $ 必须具有何种函数形式，才能使加权增长过程成为鞅？
• RQ4 最优增长率 $ \alpha $ 如何依赖于权重函数 $ \varphi(x) $ 与底层分布？
• RQ5 这些结果能否推广至 $ \mathbb{R}^d $ 上的连续结果空间，如高斯分布？

主要发现

• 对于所有满足 $ 1 + \frac{C_n g_n(\varepsilon_n)}{Z_{n-1}} > 0 $ 的可预知策略 $ C_n $，加权对数增长率 $ S_n - \alpha n $ 为上鞅，其中 $ \alpha $ 为期望增长的上界。
• 当且仅当收益函数 $ g(x) $ 满足 $ g(x) = \frac{1}{D} \left\{ [\det(\Sigma_0 \Sigma^{-1})]^{1/2} e^{-x^T(\Sigma^{-1} - \Sigma_0^{-1})x/2} - 1 \right\} $，且 $ C_n = D Z_{n-1} $，$ D \in (0,1) $ 时，才会出现鞅结构。
• 最优策略为与权重函数形式无关的比例投注 $ C_n = D Z_{n-1} $，尽管最优增长率 $ \alpha $ 依赖于 $ \varphi $。
• 在 $ m=2 $ 的离散情形下，仅当 $ E_1 = -E_2 $，$ \varphi(E_1) = \varphi(E_2) $，且 $ D = \frac{2p_1 - 1}{E_1} $ 时，鞅策略存在，此时 $ C_n = \frac{Z_{n-1}}{E_1}(2p_1 - 1) $。
• 对于独立同分布的高斯结果 $ \varepsilon_n \sim N(0, \Sigma) $，最优增长率 $ \alpha = \frac{1}{[(2\pi)^d \det \Sigma]^{1/2}} \int_{\mathbb{R}^d} \varphi(x) e^{-x^T \Sigma^{-1}x/2} \cdot \frac{1}{2} \left\{ x^T(\Sigma_0^{-1} - \Sigma^{-1})x + \log[\det(\Sigma_0 \Sigma^{-1})] \right\} dx $。
• 仅当权重函数 $ \varphi $ 与收益函数 $ g $ 满足积分条件 (37) 与 (38) 时，鞅策略才存在，从而确保漂移为零。