[论文解读] Weighted Efficient Domination for $(P_5+kP_2)$-Free Graphs in Polynomial Time

Andreas Brandstädt, Vassilis Giakoumakis|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 3被引用 13

一句话总结

本文提出了一种针对任意固定 $k$ 的 $(P_5 + kP_2)$-free 图的加权高效支配（WED）问题的多项式时间算法，解决了长期悬而未决的开放问题。该方法利用了模分解和对素图的结构分析，将问题简化为可通过团与模块分解确定高效支配关系的子实例，通过禁止子图特征刻画和稳健的算法设计确保了正确性。

ABSTRACT

Let $G$ be a finite undirected graph. A vertex {\em dominates} itself and all its neighbors in $G$. A vertex set $D$ is an {\em efficient dominating set} (\emph{e.d.}\ for short) of $G$ if every vertex of $G$ is dominated by exactly one vertex of $D$. The \emph{Efficient Domination} (ED) problem, which asks for the existence of an e.d.\ in $G$, is known to be \NP-complete even for very restricted graph classes such as for claw-free graphs, for chordal graphs and for $2P_3$-free graphs (and thus, for $P_7$-free graphs). We call a graph $F$ a {\em linear forest} if $F$ is cycle- and claw-free, i.e., its components are paths. Thus, the ED problem remains \NP-complete for $F$-free graphs, whenever $F$ is not a linear forest. Let WED denote the vertex-weighted version of the ED problem asking for an e.d. of minimum weight if one exists. In this paper, we show that WED is solvable in polynomial time for $(P_5+kP_2)$-free graphs for every fixed $k$, which solves an open problem, and, using modular decomposition, we improve known time bounds for WED on $(P_4+P_2)$-free graphs, $(P_6,S_{1,2,2})$-free graphs, and on $(2P_3,S_{1,2,2})$-free graphs and simplify proofs. For $F$-free graphs, the only remaining open case is WED on $P_6$-free graphs.

研究动机与目标

• 解决加权高效支配（WED）问题在 $(P_5 + kP_2)$-free 图上对任意固定 $k$ 是否可多项式时间求解的开放问题。
• 通过模分解改进 $(P_4 + P_2)$-、$(P_6, S_{1,2,2})$- 和 $(2P_3, S_{1,2,2})$-free 图上 WED 的已知时间复杂度并简化证明。
• 设计一个稳健的算法框架，要么计算出最小权值高效支配集，要么正确识别出不存在此类集合或输入图不属于该类。
• 确立在 $F$-free 图上，WED 问题的唯一剩余开放情况是 $P_6$-free 情况。

提出的方法

• 该算法采用通用方法：对每个顶点 $v$，将 $G$ 上的 WED 问题约化为在子图 $G_v = G[N_2 imes R]$ 上求解 WED，其中 $N_2$ 中的顶点被赋予无穷权重。
• 应用模分解将图分解为素分量，从而能够分析诸如不存在 $2P_3$ 和 $S_{1,2,2}$ 子图等结构约束。
• 对于素图，该方法分析 $R = V \setminus (\{v\} \cup N_1 \cup N_2)$ 中连通分量 $Q_i$ 的结构，证明每个 $Q_i$ 必为团，且每个 $D_v \cap Q_i$ 为单元素集，其中唯一顶点被强制确定。
• 利用 $N_2$ 中顶点区分分量 $Q_i$ 的性质：这些顶点在 $Q_i$ 中必须有唯一邻居，从而确保支配集在此类情况下被唯一确定。
• 通过验证每个分量 $Q_i$ 为团、$D_v \cap Q_i$ 为单元素集，且总集合 $D_v$ 恰好支配所有顶点一次，来检查是否存在有限权值的高效支配集。
• 整体算法通过将每个 $G_v$ 的 $O(n^3)$ 时间子程序与基于 $\delta(G)+1$ 个候选的度数分支相结合，运行时间为 $O(\delta(G) \cdot n^3)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对任意固定 $k$，加权高效支配问题在 $(P_5 + kP_2)$-free 图上是否可多项式时间求解？
• RQ2 模分解能否用于改进 $(P_4 + P_2)$-、$(P_6, S_{1,2,2})$- 和 $(2P_3, S_{1,2,2})$-free 图上 WED 的时间复杂度并简化证明？
• RQ3 $(P_5 + kP_2)$-free 图的哪些结构特性使得 WED 可在多项式时间内求解，特别是在素分量中？
• RQ4 为何 $P_6$-free 情况是 $F$-free 图上 WED 问题的唯一剩余开放问题？
• RQ5 能否设计一种稳健的 WED 算法，使其要么返回最优解，要么正确识别出图不属于该类或不存在高效支配集？

主要发现

• 对任意固定 $k$，$(P_5 + kP_2)$-free 图上的 WED 问题可在多项式时间内求解，解决了长期悬而未决的开放问题。
• 该算法运行时间为 $O(\delta(G) \cdot n^3)$，其中 $\delta(G)$ 为图的最小度，通过将问题约化为每个顶点 $v$ 对应的 $G_v$ 子实例实现。
• 对于 $(2P_3, S_{1,2,2})$-free 图，该算法运行时间为 $O(\delta(G) \cdot n^3)$ 且正确，其证明通过团与区分顶点的结构分析得以简化。
• 该方法确立：在素 $(2P_3, S_{1,2,2})$-free 图中，$R$ 的每个连通分量 $Q_i$ 必为团，且 $Q_i$ 中唯一的 $D_v$-顶点由其在 $N_2$ 中的邻域强制确定。
• 该算法具有鲁棒性：它要么返回最小权值高效支配集，要么正确报告不存在此类集合或输入图不属于该类。
• 在 $F$-free 图上，WED 问题的唯一剩余开放情况是 $P_6$-free 情况，其余所有线性森林 $F$-free 情况均已解决。