[论文解读] Weighted Traces on Algebras of Pseudo-Differential Operators and Geometry of Loop Groups

Alexander Cardona, C. Ducourtioux+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 11

一句话总结

本论文通过使用正定椭圆算子 $ Q $ 的 zeta-正则化迹，引入了经典伪微分算子上的加权迹，为无穷维环群构建了几何框架。该框架扩展了 Radul 与 Schwinger 上同调类，确立了其上同调意义，并证明了可逆椭圆算子空间的基本群同构于 Grothendieck 群 $ K_0(S^*M) $，从而通过指标理论将算子理论与拓扑学联系起来。

ABSTRACT

Using {\it weighted traces} which are linear functionals of the type $$A o tr^Q(A):=(tr(A Q^{-z})-z^{-1} tr(A Q^{-z}))_{z=0}$$ defined on the whole algebra of (classical) pseudo-differential operators (P.D.O.s) and where $Q$ is some positive invertible elliptic operator, we investigate the geometry of loop groups in the light of the cohomology of pseudo-differential operators. We set up a geometric framework to study a class of infinite dimensional manifolds in which we recover some results on the geometry of loop groups, using again weighted traces. Along the way, we investigate properties of extensions of the Radul and Schwinger cocycles defined with the help of weighted traces.

研究动机与目标

• 通过伪微分算子上的加权迹，为无穷维流形（特别是环群）建立几何框架。
• 利用加权迹扩展 Radul 与 Schwinger 上同调类，并分析其上同调性质。
• 通过基本群计算研究可逆椭圆算子空间的拓扑结构。
• 将 zeta-正则化迹与 Wodzicki 范数联系到无穷维曲率与示性类。
• 建立椭圆符号空间与算子空间之间的同伦等价，使拓扑不变量可从符号空间导出。

提出的方法

• 将加权迹定义为 $ \mathrm{tr}^Q(A) := \left( \mathrm{tr}(AQ^{-z}) - z^{-1} \mathrm{tr}(AQ^{-z}) \right)_{z=0} $，通过椭圆算子的 zeta 函数进行正则化。
• 利用 zeta-正则化迹在当前群上定义 Ricci 曲率，在环群上定义第一陈类形式。
• 通过加权迹在经典伪微分算子全代数上构造双线性泛函，扩展已知的上同调类。
• 证明可逆椭圆算子空间的基本群同构于 $ K_0(S^*M) $，利用符号空间与算子空间之间的同伦等价。
• 通过连续形变 $ F(A,s) = (1-s)\mathrm{Op}(\sigma_P(A)) + sA $ 构造恒等映射与复合映射 $ g \circ f $ 之间的同伦，同时考虑紧算子扰动。
• 将结果 $ \Pi_1(GL_N({\cal A})) \simeq K_0({\cal A}) $ 应用于 $ C(S^*M) $，得出 $ \Pi_1(S_P\mathrm{Ell}_{0}^{*,0}(M,1_N)) \simeq K_0(S^*M) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用伪微分算子上的加权迹在无穷维环群上定义几何结构？
• RQ2 加权迹在扩展 Radul 与 Schwinger 上同调类中的上同调角色是什么？
• RQ3 zeta-正则化迹如何与无穷维几何中的曲率与示性类相关联？
• RQ4 可逆椭圆算子空间的基本群是什么？其如何通过符号空间计算得出？
• RQ5 加权迹在多大程度上捕捉了环群与当前群的拓扑不变量？

主要发现

• 可逆椭圆算子的弧连通分支的基本群同构于 $ K_0(S^*M) $，即余球丛上连续函数的 Grothendieck 群。
• 加权迹构造在经典伪微分算子全代数上产生一个双线性泛函，其在子代数 $ g_{\mathrm{res}} $ 上限制为扭曲的 Radul 与 Schwinger 上同调类。
• 加权迹并非真正迹的障碍由一个推广了 Radul 上同调类的上边界测度，其可通过 Wodzicki 范数表达。
• 空间 $ S_P\mathrm{Ell}_{0}^{*,0}(M,E) $ 中可逆椭圆算子的基本群与 $ \mathrm{Ell}_{0}^{*,0}(M,E) $ 相同，这是由于符号映射与算子重构映射之间存在同伦等价。
• 映射 $ g \circ f $ 与恒等映射之间的同伦通过连续路径 $ F(A,s) = \mathrm{Op}(\sigma_P(A))(1 + \phi(s)K) $ 构造，其中 $ \phi(s) $ 避免了紧算子扰动 $ K $ 的谱奇点。
• 当 $ N $ 足够大时，平凡秩为 $ N $ 的向量丛上可逆椭圆算子空间的基本群同构于 $ K_0(S^*M) $，证实了非平凡的拓扑结构。