[论文解读] Weil-Petersson Teichmüller space

Yuliang Shen|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2013

Analytic and geometric function theory参考文献 25被引用 11

一句话总结

本文建立了单位圆上魏尔-彼得松类拟对称同胚的内在刻画：一个同胚属于该类当且仅当它是绝对连续的，且其对数导数属于索伯列夫空间 $H^{1/2}$。该结果解决了塔赫塔詹-蒂奥（2006）提出的开放问题，并导出若干关键应用，包括在 $H^{3/2}$ 和利普希茨类之外存在魏尔-彼得松类同胚，以及 $H^{3/2}$-流包含于魏尔-彼得松-泰希米勒空间之中。

ABSTRACT

The paper presents some recent results on the Weil-Petersson geometry theory of the universal Teichmüller space, a topic which is important in Teichmüller theory and has wide applications to various areas such as mathematical physics, differential equation and computer vision. oindent (1) It is shown that a sense-preserving homeomorphism $h$ on the unit circle belongs to the Weil-Petersson class, namely, $h$ can be extended to a quasiconformal mapping to the unit disk whose Beltrami coefficient is squarely integrable in the Poincaré metric if and only if $h$ is absolutely continuous such that $\log h'$ belongs to the Sobolev class $H^{\frac 12}$. This solves an open problem posed by Takhtajan-Teo [TT2] in 2006 and investigated later by Figalli [Fi], Gay-Balmaz-Marsden-Ratiu ([GMR], [GR]) and others. oindent The intrinsic characterization (1) of the Weil-Petersson class has the following applications which are also explored in this paper: oindent (2) It is proved that there exists a quasisymmetric homeomorphism of the Weil-Petersson class which belongs neither to the Sobolev class $H^{\frac 32}$ nor to the Lipschitz class $Λ^1$, which was conjectured very recently by Gay-Balmaz-Ratiu [GR] when studying the classical Euler-Poincaré equation in the new setting that the involved sense-preserving homeomorphisms on the unit circle belong to the Weil-Petersson class. oindent (3) It is proved that the flows of the $H^{\frac 32}$ vector fields on the unit circle are contained in the Weil-Petersson class, which was also conjectured by Gay-Balmaz-Ratiu [GR] during their above mentioned research. oindent (4) A new metric is introduced on the Weil-Petersson Teichmüller space and is shown to be topologically equivalent to the Weil-Petersson metric.

研究动机与目标

• 解决泰希米勒理论中关于单位圆上魏尔-彼得松类拟对称同胚的内在刻画的开放问题。
• 解决盖-巴尔马兹-拉蒂乌关于魏尔-彼得松类同胚不在 $H^{3/2}$ 或利普希茨类 $\Lambda^1$ 中存在的猜想。
• 验证关于由圆上 $H^{3/2}$ 向量场生成的流是否保留在魏尔-彼得松类中的猜想。
• 引入并分析魏尔-彼得松-泰希米勒空间上的新度量，证明其与标准魏尔-彼得松度量拓扑等价。

提出的方法

• 建立单位圆上保向同胚 $h$ 属于魏尔-彼得松类的充要条件：$h$ 是绝对连续的，且 $\log h' \in H^{1/2}$。
• 使用贝鲁林-阿赫尔福斯扩张方法，以及在庞加莱度量下贝尔特拉米系数平方可积的拟共形映射理论。
• 应用格伦斯基算子和 $T_h^\pm$ 算子，分析拟共形扩张在 Bergman 空间和索伯列夫空间上的作用。
• 利用贝尔特拉米微分的 $L^2$-范数以及格伦斯基算子 $G_f$ 的有界性，控制扩张算子的范数。
• 利用黎曼映射定理和调和扩张理论，将拟共形映射的边界行为与边界同胚的正则性联系起来。
• 应用勒贝格控制收敛定理以及 $H^{1/2}$ 中的范数估计，证明投影映射 $P_h$ 在索伯列夫范数下的连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以边界正则性来刻画单位圆上魏尔-彼得松类拟对称同胚的内在特征？
• RQ2 是否存在一个魏尔-彼得松类中的拟对称同胚，其不属于 $H^{3/2}$ 或利普希茨类 $\Lambda^1$？
• RQ3 由圆上 $H^{3/2}$ 向量场生成的流是否保留在魏尔-彼得松类中？
• RQ4 能否在魏尔-彼得松-泰希米勒空间上定义一个与标准魏尔-彼得松度量拓扑等价的新度量？

主要发现

• 单位圆上保向同胚 $h$ 属于魏尔-彼得松类当且仅当它是绝对连续的，且 $\log h' \in H^{1/2}$，解决了塔赫塔詹-蒂奥（2006）提出的开放问题。
• 存在一个魏尔-彼得松类中的拟对称同胚，其不属于 $H^{3/2}$ 或 $\Lambda^1$，证实了盖-巴尔马兹-拉蒂乌最近提出的猜想。
• 由 $H^{3/2}$ 向量场在单位圆上生成的流保留在魏尔-彼得松类中，验证了盖-巴尔马兹-拉蒂乌的另一项猜想。
• 在魏尔-彼得松-泰希米勒空间上引入了一个新度量，并证明其与标准魏尔-彼得松度量拓扑等价。
• 证明了在解析函数空间上，投影算子 $P_h$ 沿着魏尔-彼得松类变化时在 $H^{1/2}$ 范数下是连续的。
• 通过格伦斯基算子和对偶性论证，确立了正投影 $P_h^+$ 在解析函数空间上的满射性。