[论文解读] Well-posedness and global dynamics for the critical Hardy-Sobolev parabolic equation

Noboru Chikami, Masahiro Ikeda+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 29被引用 18

一句话总结

本文在能量空间 $\dot{H}^1(\mathbb{R}^d)$ 中为能量临界 Hardy-Sobolev 抛物方程建立了严格的二分法，表明解要么全局时间衰减至零，要么在有限时间内爆破，其唯一决定因素是初始数据处 Nehari泛函 $J_\gamma(u_0)$ 的符号。该结果为全局存在与衰减或有限时间爆破或无限时间增长提供了必要且充分的条件，将浓度紧致性方法扩展至带有奇异势的临界 Hardy-Sobolev 设置。

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the semilinear heat equation with the singular potential, called the Hardy-Sobolev parabolic equation, in the energy space. The aim of this paper is to determine a necessary and sufficient condition on initial data below or at the ground state, under which the behavior of solutions is completely dichotomized. More precisely, the solution exists globally in time and its energy decays to zero in time, or it blows up in finite or infinite time. The result on the dichotomy for the corresponding Dirichlet problem is also shown as a by-product via comparison principle.

研究动机与目标

• 确定能量空间 $\dot{H}^1(\mathbb{R}^d)$ 中初始数据的必要且充分条件，以决定能量临界 Hardy-Sobolev 抛物方程解的全局行为。
• 在能量不超过或等于基态能量的约束下，建立全局耗散解（衰减至零）与在有限时间内爆破或在无穷远处增长的解之间的完整二分法。
• 将先前用于薛定谔方程和波动方程的浓度紧致性方法，扩展至带有奇异 Hardy 型势 $|x|^{-\gamma}$ 的抛物设置。
• 证明当 $E_\gamma(u_0) \leq l_{HS}$ 时，Nehari 泛函 $J_\gamma(u_0)$ 的符号完全决定了长期动力学行为。

提出的方法

• 研究采用热方程的积分形式，通过线性热半群 $e^{t\Delta}$ 及其相关 Duhamel 原理，定义 $C([0,T'); \dot{H}^1)$ 中的弱解。
• 以能量空间 $\dot{H}^1(\mathbb{R}^d)$ 和尺度临界 Lebesgue 空间 $L^{q_c}(\mathbb{R}^d)$ 作为函数框架，其中 $q_c = 2d/(d-2)$。
• 利用 Nehari 泛函 $J_\gamma(\varphi) = \|\varphi\|_{\dot{H}^1}^2 - \int_{\mathbb{R}^d} |\varphi|^{2^*(\gamma)} / |x|^\gamma \, dx$ 根据其符号对初始数据进行分类。
• 山口能 $l_{HS} = \inf_{\varphi \in \dot{H}^1 \setminus \{0\}} \max_{\lambda \geq 0} E_\gamma(\lambda \varphi)$ 被识别为基态 $W_\gamma$ 的能量，作为二分法的阈值。
• 在 dyadic 时间区间上构造的函数空间 $X_j$ 中使用不动点论证，证明局部适定性并控制涉及 $|x|^{-\gamma}|u|^{2^*(\gamma)-2}u$ 的非线性项。
• 将比较原理应用于有界区域上的 Dirichlet 问题，通过热核的区域单调性与非线性项的正性，将二分法结果推广至有界情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\dot{H}^1(\mathbb{R}^d)$ 中，初始数据的精确条件是什么，可决定能量临界 Hardy-Sobolev 抛物方程的解是否全局存在并衰减至零，或在有限时间内爆破？
• RQ2 当初始能量有上界为基态能量时，Nehari 泛函 $J_\gamma(u_0)$ 的符号如何决定解的长期行为？
• RQ3 此前在薛定谔方程和波动方程中成功的浓度紧致性方法，能否被适配以证明带有奇异势 $|x|^{-\gamma}$ 的抛物方程的严格二分法？
• RQ4 基态 $W_\gamma$ 在能量临界 Hardy-Sobolev 设置中作为阈值解起什么作用？

主要发现

• 满足 $E_\gamma(u_0) \leq l_{HS}$ 且 $J_\gamma(u_0) > 0$ 的初始数据 $u_0 \in \dot{H}^1(\mathbb{R}^d)$ 的解全局存在，且满足 $\lim_{t \to \infty} \|u(t)\|_{\dot{H}^1} = 0$，即为耗散解。
• 满足 $E_\gamma(u_0) \leq l_{HS}$ 且 $J_\gamma(u_0) < 0$ 的解要么在有限时间内爆破，要么在 $t \to \infty$ 时无界增长。
• 若初始数据还满足 $u_0 \in L^2(\mathbb{R}^d)$，则 $J_\gamma(u_0) < 0$ 的解必在有限时间内爆破。
• 不存在满足 $E_\gamma(u_0) < l_{HS}$ 且 $J_\gamma(u_0) = 0$ 的非零初始数据；当 $E_\gamma(u_0) = l_{HS}$ 且 $J_\gamma(u_0) = 0$ 时，对应于一个静止解，即基态 $W_\gamma$ 的倍数。
• 通过比较原理将结果推广至有界区域上的 Dirichlet 问题，表明在 $J_\gamma(u_0)$ 的符号条件相同下，相同的二分法依然成立。
• 能量恒等式 $\frac{d}{dt} E_\gamma(u(t)) = -\int_{\mathbb{R}^d} |\partial_t u(t,x)|^2 dx \leq 0$ 在形式上成立，表明能量耗散，这是分析的关键。