[论文解读] Wellposedness of Second Order Master Equations for Mean Field Games with Nonsmooth Data

Chenchen Mou, Jianfeng Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 42被引用 17

一句话总结

本文通过引入三种新颖的解概念——良解、弱解与弱黏性解，在单调性条件下，建立了具有非光滑数据的均场博弈中二阶主方程的适定性。即使在测度变量上不具可微性的情况下，也通过测度变量上的统一利普希茨估计证明了全局存在性与唯一性，并进一步在较弱的正则性条件下验证了N人纳什系统的收敛性与混沌传播。

ABSTRACT

In this paper we study second order master equations arising from mean field games with common noise over arbitrary time duration. A classical solution typically requires the monotonicity condition (or small time duration) and sufficiently smooth data. While keeping the monotonicity condition, our goal is to relax the regularity of the data, which is an open problem in the literature. In particular, we do not require any differentiability in terms of the measures, which prevents us from obtaining classical solutions. We shall propose three weaker notions of solutions, named as {\it good solutions}, {\it weak solutions}, and {\it weak-viscosity solutions}, respectively, and establish the wellposedness of the master equation under all three notions. We emphasize that, due to the game nature, one cannot expect comparison principle even for classical solutions. The key for the global (in time) wellposedness is the uniform a priori estimate for the Lipschitz continuity of the solution in the measures. The monotonicity condition is crucial for this uniform estimate and thus is crucial for the existence of the global solution, but is not needed for the uniqueness in such Lipschitz class. To facilitate our analysis, we construct a smooth mollifier for functions on Wasserstein space, which is new in the literature and is interesting in its own right. Following the same approach of our wellposedness results, we prove the convergence of the Nash system, a high dimensional system of PDEs arising from the corresponding $N$-player game, under mild regularity requirements. We shall also prove a propagation of chaos property for the associated optimal trajectories.

研究动机与目标

• 解决当数据在测度变量上缺乏光滑性时，二阶主方程适定性的开放问题。
• 放松经典正则性要求（例如测度上的可微性），同时保持全局可解性。
• 在最小正则性假设下，建立N人纳什系统向主方程的收敛性与混沌传播。
• 在Wasserstein空间上构造一种新的光滑截断器，作为分析概率测度的创新技术工具。
• 通过测度变量上统一的先验估计（利普希茨连续性）证明全局适定性，利用单调性条件。

提出的方法

• 引入三种新的解概念——良解、弱解与弱黏性解，以处理经典解失效的非光滑数据。
• 在解的测度变量上建立统一的先验估计，即利普希茨连续性，这是全局存在性的核心。
• 构造一种新的Wasserstein空间上的光滑截断器，用于正则化定义在概率测度上的函数，从而实现逼近技术。
• 利用前向-后向随机微分方程（FBSDEs）与概率表示推导关键估计。
• 通过分部积分与条件期望推导纳什系统的梯度估计。
• 采用空间划分与矩估计控制经验测度收敛性，并推导Wasserstein距离估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当数据在测度变量上缺乏可微性时，是否可以建立二阶主方程的适定性？
• RQ2 在均场博弈主方程中，针对非光滑数据，哪些解概念是合适的？它们与经典解有何关系？
• RQ3 当经典解不存在时，单调性条件是否仍是全局存在的关键？
• RQ4 在较弱正则性条件下，是否可以证明N人纳什系统向主方程的收敛性？
• RQ5 在这些放松的假设下，最优轨迹的混沌传播是否仍然成立？

主要发现

• 本文在三种新的解概念——良解、弱解与弱黏性解下，建立了主方程的全局适定性，且无需在测度变量上可微。
• 证明了解在测度变量上的统一先验估计（即利普希茨连续性），这是全局存在的关键，且单调性条件对这一估计至关重要。
• 单调性条件对存在性至关重要，但对利普希茨类解的唯一性并非必需。
• 构造了一种新的Wasserstein空间上的光滑截断器，这是具有独立兴趣的创新技术贡献。
• 在较弱正则性假设下，证明了纳什系统向主方程的收敛性，将先前结果推广至非光滑数据。
• 在适当的矩条件下，建立了最优轨迹的混沌传播，经验测度与真实测度之间的Wasserstein距离以O(1/√N)的速率衰减。